Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT)

Seien $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ und $(Y,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ topologische Vektorräume mit den Systemen von topologieerzeugenden Gaugefunktionalen über dem Körper $𝕂$ und

$T:X\to Y$ eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• (1) T ist stetig in jedem Punkt $x\in X$
• (2) T ist stetig im Nullvektor $0_X\in X$
• (3) ${\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,M_{\alpha }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}:\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1⟹\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M_{\alpha }$
• (4) ${\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,M_{\alpha }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}:\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M_{\alpha }\cdot \Vert x{\Vert }_{\alpha }$ ,

Beweis SLAT

Der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als Ringschluss von (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1) bewiesen.

Folgerung SLAT (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor $0_X\in X$

Folgerung SLAT (2) nach (3)

Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume erhält man für die Stetigkeit in $x_o=0_X\in X$ folgende äquivalente Bedingung.

${\mathrm{\forall }}_{U_{\epsilon }\in {𝔘}_{{𝒯}_Y}(T(x_o))}{\mathrm{\exists }}_{U_{\delta }\in {𝔘}_{{𝒯}_X}(x_o)}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}:x\in U_{\delta }⟹T(x)\in U_{\epsilon }$

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 1

Da $(X,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ und $(Y,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ topologische Räume sind und die Systemen von Gaugefunktionalen die Topologie erzeugen, gibt es für jede Nullumgebung $U_{\delta }$ ein $\alpha \in 𝒜$ ein ${\delta }_o>0$ und für jede Nullumgebung $U_{\epsilon }$ ein $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ und ein ${\epsilon }_o>0$ mit:

$B_{{\delta }_o}^{\alpha }(0_X)\subset U_{\delta }\wedge B_{{\epsilon }_o}^{\tilde{\alpha }}(0_Y)\subset U_{\epsilon }$

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 2

Da es nach dem $\epsilon -\delta$-Kriterium zu jedem $U_{\epsilon }$ ein $U_{\delta }$ existiert und kann man dies insbesondere für die Nullumgebung $U_{\epsilon }:=B_{{\epsilon }_o}^{\tilde{\alpha }}(0_Y)$ von $0_Y$ anwenden, wählt dazu das $U_{\delta }$. Damit gilt für alle $x\in U_{\delta }$.

$T(x)\in B_{{\epsilon }_o}^{\tilde{\alpha }}(0_Y)=U_{\epsilon }$

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 3

Durch Anwendung auf die Gaugefunktionale erhält man die Abschätzungen:

• $\Vert x{\Vert }_{\alpha }<{\delta }_o$ folgt $x\in B_{{\delta }_o}^{\alpha }(0_X)\subset U_{\delta }$.
• $\Vert y{\Vert }_{\tilde{\alpha }}<{\epsilon }_o$ folgt $y\in B_{{\epsilon }_o}^{\tilde{\alpha }}(0_Y)=U_{\epsilon }$.

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 4

Mit der ersten Abschätzung und der Homogenität von Gaugefunktionalen folgt aus $\Vert x{\Vert }_{\alpha }<1$, dass $\Vert {\delta }_o\cdot x{\Vert }_{\alpha }<{\delta }_o$ gilt. Das oben genannte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium für topologische Räume liefert mit der der Bedingung im $x\in U_{\delta }⟹T(x)\in U_{\epsilon }$, dass dann $T({\delta }_o\cdot x)\in U_{\epsilon }$ erfüllt ist.

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 5

Für Bedingung (3) benötigt man eine Abschätzung für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1$ und nicht nur für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }<1$. Für alle $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1$ gilt ${\Vert \frac{{\delta }_o}{2}\cdot x\Vert }_{\alpha }\le \frac{{\delta }_o}{2}<{\delta }_0$. Damit erhält man für für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1$ die Bedingungen $\frac{{\delta }_o}{2}\cdot x\in B_{{\delta }_o}^{\alpha }(0_X)$ und $T(\frac{{\delta }_o}{2}\cdot x)\in U_{\epsilon }$.

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 6

Mit $y:=T(\frac{{\delta }_o}{2}\cdot x)\in U_{\epsilon }$ und $\Vert y{\Vert }_{\tilde{\alpha }}<{\epsilon }_o$ für alle $y\in U_{\epsilon }$ erhält man $\Vert T(\delta \cdot x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}<{\epsilon }_o$. Die Behauptung folgt dann mit der Homogenität von Gaugefunktionalen für alle $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1$:

$\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=\frac{2}{{\delta }_o}\cdot \underset{<{\epsilon }_o}{\underbrace{\Vert T(\frac{{\delta }_o}{2}\cdot x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}}}<\underset{:=M_{\alpha }}{\underbrace{\frac{2}{{\delta }_o}\cdot {\epsilon }_o}}=M_{\alpha }$

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fallunterscheidung

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Zu jedem $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ existiert ein $\alpha \in 𝒜$ $M_{\alpha }>0$ mit $\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M_{\alpha }$ für alle $x\in X$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le 1$. Man wählt für das gesucht $M_{\alpha }>0$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene $M>0$ und betrachtet die Fallunterscheidung für $\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=0$ und $\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=0$:

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 1

In Fall 1 weisen wir die Ungleichung (4) für den Fall $\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=0$ nach. Es gilt:

$\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=0\le \underset{>0}{\underbrace{M_{\alpha }}}\cdot \underset{\ge 0}{\underbrace{\Vert x{\Vert }_{\tilde{\alpha }}}}$

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.1

In Fall 2 sei nun $\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=0$ und $x\in X$ beliebig gewählt. Dann liegt für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$ der Vektor $\hat{x}:=\frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}$ auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{B_1^{(\alpha )}(0_X)}$ in $X$, denn es gilt:

$\Vert \hat{x}{\Vert }_{\alpha }={\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\Vert }_{\alpha }=\frac{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}=1$

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.2

Da nun $\Vert \hat{x}{\Vert }_{\alpha }\le 1$ erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf $\hat{x}:=\frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}$ angewendet werden und man erhält:

$\begin{array}{ccc}{M}_{\alpha }& \ge & \Vert T(\hat{x}){\Vert }_{\tilde{\alpha }}={\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\right)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \stackrel{Tlin}{=}& {\Vert \frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\cdot T(x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \stackrel{\Vert \cdot {\Vert }_{\tilde{\alpha }}hom.}{=}& \left|\frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\right|\cdot \Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=\frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\cdot \Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\end{array}$

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.3

Die Normierung zu $\Vert \hat{x}{\Vert }_{\alpha }=1$ konnte im obigen Fall nur unter der Bedingung durchgeführt werden, wenn $\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$ gegeben war. Es fehlt also noch die Untersuchung vom Fall $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$ und $\Vert T(\hat{x}){\Vert }_{\tilde{\alpha }}>0$. Es existieren unter der Voraussetzung (3) keine $x\in X$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$ und $0<\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M_{\alpha }$, wie die folgende Begründung zeigt.

Begründung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Es gilt keine $x\in X$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$ und $0<\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M_{\alpha }$, denn mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$ gilt auch $\Vert \lambda \cdot x{\Vert }_{\alpha }=0<1$ für alle $\lambda \in 𝕂$. Dann würde aber die Bedingung der Beschränktheit aus (3) durch $M_{\alpha }$ verletzt, denn es gilt mit der Linearität von $T$ und der Homogenität des Gaugefunktionals $\Vert \lambda \cdot x{\Vert }_{\alpha }=0<1$:

$\Vert T(\lambda \cdot x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=|\lambda |\cdot \underset{>0}{\underbrace{\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}}}$.

Bemerkung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Da nach (3) eine Schranke $M_{\alpha }$ existiert und $\lambda >0$ wird beliebig groß, kann unter dieser Bedingung $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$ diese Schranke nicht existieren.

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Insgesamt erhält man (3): Für alle $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ ein $\alpha \in 𝒜$ existiert, wobei für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$ gilt:

$M_{\alpha }\ge \Vert T(\hat{x}){\Vert }_{\tilde{\alpha }}=\frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\cdot \Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}$

bzw. die Ungleichung

$\Vert T(x){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le M\cdot \Vert x{\Vert }_{\alpha }$

Folgerung SLAT (4) nach (1)

• Nach Voraussetzung gelte (4) ${\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,M_{\alpha }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in X}:\Vert T(x){\Vert }_{\widetilde{𝒜}}\le M_{\alpha }\cdot \Vert x{\Vert }_{\alpha }$,
• Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung $T$ in einem beliebigen Punkt $x_o\in X$ stetig ist.

D.h. wir zeigen, dass aus $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overset{\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}}{\lim }}{x}_i=x_o$ auch die Konvergenz der Bildnetz $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overset{\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}}{\lim }}T(x_i)=T(x_o)$ gegen $T(x_o)$ erfüllt ist. Über dem Limes steht das Gaugefunktionalsystem, bzgl. der die Konvergenz definiert wird.

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 1

Für den Nachweis der Stetigkeit von $T$ in jedem Punkt aus $X$ sei nun $x_0\in X$ beliebig gewählt. Ferner sei ein Netz $(x_i{)}_{i\in I}\in X^I$ in $X$ mit $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overset{\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}}{\lim }}{x}_i=x_o$ gegeben, die also gegen $x_0\in X$ bzgl. des Gaugefunktionalsystems $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildnetze $(T(x_i){)}_{i\in I}\in Y^I$ gegen $T(x_0)\in Y$ verwenden man die Linearität und die Einschachtelung des Bildnetzes durch Verwendung der Ungleichung (4).

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2

Zunächst einmal drücken wir die Konvergenzaussage für Netze in der Topologie durch die Gaugefunktionalsysteme aus.

• $\begin{array}{cc}\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overset{\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}}{\lim }}& x_i=x_o⟺\\ & {\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜,\delta >0}{\mathrm{\exists }}_{i_{(\alpha ,\delta )}\in I}{\mathrm{\forall }}_{i\succ i_{(\alpha ,\delta )}}:\Vert x_i-x_o{\Vert }_{\alpha }<\delta \end{array}$
• $\begin{array}{cc}\underset{\tilde{i}\to \mathrm{\infty }}{\overset{\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}}{\lim }}& T(x_i)=T(x_o)⟺\\ & {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{i_{(\tilde{\alpha },\epsilon )}\in I}{\mathrm{\forall }}_{i\succ i_{(\tilde{\alpha },\epsilon )}}:\Vert T(x_i)-T(x_o){\Vert }_{\tilde{\alpha }}<\epsilon \end{array}$

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2

Für den Nachweis der Konvergenz des Netzes $(T(x_i){)}_{i\in I}\in Y^I$ gegen $T(x_0)\in Y$ wird der Abstand zwischen Komponenten des Bildnetzes $T(x_i)$ und $T(x_o)$ wie folgt abgeschätzt:

$\begin{array}{ccc}0& \le & \Vert T(x_i)-T(x_0){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\stackrel{Tlin.}{=}\Vert T(x_i-x_0){\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \stackrel{(4)}{\le }& M_{\alpha }\cdot \Vert x_i-x_0{\Vert }_{\alpha }{}_{\stackrel{⟶}{i\to \mathrm{\infty }}}0\end{array}$,

da $(x_i{)}_{i\in I}\in X^I$ in $X$ gegen $x_0\in X$ konvergiert und mit $\Vert x_i-x_0{\Vert }_{\alpha }{}_{\stackrel{⟶}{i\to \mathrm{\infty }}}0$ durch Abschätzung auch $\Vert T(x_i)-T(x_0){\Vert }_{\tilde{\alpha }}{}_{\stackrel{⟶}{i\to \mathrm{\infty }}}0$ konvergiert.

Ringschluss SLAT

Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen. $◻$

Siehe auch

• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen in normierten Räumen
• Netze (Mathematik)
• Hahn-Banach - normierte Räume
• Kurs:Funktionalanalysis
• Kontraposition
• Konvergenz in normierten Räumen
• Normenäquivalenzsatz
• Stetigkeit in topologischen Räumen
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.