Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall

Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines $ℂ$-Vektorraumes $V$;
• $p:V\to {ℝ}_o^{+}$ eine Halbnorm;
• $f:U\to ℂ$ ein lineares Funktional, für das $|f(u)|\le p(u)$ für alle $u\in U$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F:V\to ℂ$, so dass

• $F{|}_U=f$ und.
• $|F(v)|\le p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Bemerkung

Der folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper $ℂ$ erweitert.

Beweis

Der Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in $ℝ$. Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:

• Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion einer linearen Abbildung,
• Die Erweiterung der linearen Realteilfunktion $g:U\to ℝ$ mit dem reellen Hahn-Banach zu $G:V\to ℝ$ und Definition der komplexen Erweiterung $F:V\to ℂ$
• $ℂ$-Linerarität von $F$ aus $ℝ$-Linerarität von $G$ folgern.
• Nachweis der Eigenschaften $F{|}_U=f$ und $|F(v)|\le p(v)$ für alle $v\in V$.

Beweisteil 1: Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion

Sei $\hat{f}:\hat{U}\to ℂ$ ein $ℂ$-lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum $\hat{U}\subseteq V$. Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.

• $\hat{g}:\hat{U}\to ℝ$ mit $\hat{g}(u):=\Re 𝔢(\hat{f}(u))$ und
• $\hat{h}:\hat{U}\to ℝ$ mit $\hat{h}(u):=\Im 𝔪(\hat{f}(u))$.

Wir zeigen nun für $\hat{f}=\hat{g}+i\hat{h}$ in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildungen $\hat{g},\hat{h}$ auch $ℝ$-lineare Abbildungen sind.

Bemerkung 1: Anwendung auf lineare Funktionale

Der im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional $\hat{f}:\hat{U}\to ℂ$ wird später sowohl für eine gegebene Funktion $f:U\to ℂ$ auf $\hat{U}:=U$ als auch für die Erweiterung $F:V\to ℂ$ auf ganz $V$ mit $\hat{U}:=V$ verwendet.

Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität

Seien nun ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$ und $u_1,u_2\in \hat{U}$. Dann liefert die $ℂ$-Linearität von $\hat{f}:\hat{U}\to ℂ$

$\begin{array}{ccc}\hat{g}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)& +& i\cdot \hat{h}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)=\hat{f}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)\\ & =& {\lambda }_1\hat{f}(u_1)+{\lambda }_2\hat{f}(u_2)\\ & =& {\lambda }_1(\hat{g}(u_1)+i\cdot \hat{h}(u_1))+{\lambda }_2(\hat{g}(u_2)+i\cdot \hat{h}(u_2))\\ & =& ({\lambda }_1\hat{g}(u_1)+{\lambda }_2\hat{g}(u_2))+i\cdot ({\lambda }_1\hat{h}(u_1)+{\lambda }_2\hat{h}(u_2))\end{array}$

Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

$\begin{array}{ccc}\hat{g}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)& +& i\cdot \hat{h}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)=\\ & =& ({\lambda }_1\hat{g}(u_1)+{\lambda }_2\hat{g}(u_2))+i\cdot ({\lambda }_1\hat{h}(u_1)+{\lambda }_2\hat{h}(u_2))\end{array}$

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

• $\hat{g}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)={\lambda }_1\hat{g}(u_1)+{\lambda }_2\hat{g}(u_2)$ und
• $\hat{h}({\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2)={\lambda }_1\hat{h}(u_1)+{\lambda }_2\hat{h}(u_2)$.

Damit sind die Funktionen $\hat{g}$ und $\hat{h}$ auch $ℝ$-linear.

Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Funktionen $\hat{g}$ und $\hat{h}$ können aber nicht unabhängig $ℝ$-linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

$\begin{array}{ccc}\hat{g}(i\cdot u)+i\cdot \hat{h}(i\cdot u)& =& \hat{f}(i\cdot u)=i\cdot \hat{f}(u)\\ & =& i\cdot (\hat{g}(u)+i\cdot \hat{h}(u))\\ & =& i\cdot \hat{g}(u)-\hat{h}(u)\end{array}$

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen $\hat{g}(i\cdot u)=-\hat{h}(u)$ und $\hat{h}(i\cdot u)=\hat{g}(u)$.

Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung

Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit $1=-i^2$ folgende Gleichungskette:

$\hat{h}(u)=\hat{h}(-i^{2}u)=-\hat{h}\left(i^{2}u\right)=-\hat{g}\left(iu\right)$

Damit kann man $\hat{h}(u)$ durch $-\hat{g}\left(iu\right)$ ersetzen und erhält:

$\hat{f}(u)=\hat{g}\left(u\right)-i\cdot \hat{g}(i\cdot u)\text{ für alle }u\in \hat{U}$

Beweisteil 2: Erweiterung der reell-linearen Funktion g

Durch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals $f:U\to ℂ$ bereits durch die $ℝ$-lineare Realteilfunktion $g:U\to ℂ$ eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion $h:U\to ℂ$ über $h(u)=-g(i\cdot u)$ eindeutig durch $g$ definiert ist. Auf $g$ wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.

Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung

Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle $u\in U$ gilt:

$g(u)\le |g(u)|=\sqrt{(g(u){)}^2}\le \sqrt{(g(u){)}^2+(h(u){)}^2}=|f(u)|$

Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag

Da nach Voraussetzung mit $|f(u)|\le p(u)$ für alle $u\in U$ gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:

$g(u)\le |g(u)|\le |f(u)|\le p(u)$

Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum

Mit $ℝ\subset ℂ$ kann man den Grundraum $V$ und den Untervektorraum $U$ auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das $ℝ$-lineare Funktional $g:U\to ℝ$ definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional $G:V\to ℝ$, so dass

• $G{|}_U=g$ und.
• $G(v)\le p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Beweisschritt 2.3: Definition von F über G

Man definiert nun die Abbildung $F:V\to ℂ$ wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

$F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x)\text{ für alle }x\in V$

wobei $F$ ebenso wie $G$ auch $ℝ$-linear ist.

Beweisteil 3: Linearität von F

In Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes $ℂ$-lineare Funktional $\hat{f}:\hat{U}\to ℂ$ bereits durch ein $ℝ$-lineare Funktional $\hat{g}:\hat{U}\to ℂ$ definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über

$F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x)\text{ für alle }x\in V$

auch $ℂ$-linear ist.

Bemerkung 3.0: Ersetzung der 1

In den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes $i$ in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:

$1=-i^2=-i\cdot i$

Beweisschritt 3.1: Additivität von F

Für $x_1,x_2\in V$ gilt $G(x_2)=-i\cdot iG(x_2)$:

$\begin{array}{ccc}F(x_1+x_2)& =& G(x_1+x_2)-i\cdot G(i\cdot (x_1+x_2))\\ & =& G(x_1)+G(x_2)-i\cdot (G(i\cdot x_1)+G(i\cdot x_2))\\ & =& (G(x_1)-i\cdot G(i\cdot x_1))+i\cdot (G(x_2)-i\cdot G(i\cdot x_2))\\ & =& F(x_1)+F(x_2)\end{array}$

Beweisschritt 3.2: Homogenität von F

Für $x\in V$, $\lambda ={\lambda }_1+i{\lambda }_2\in ℂ$ und ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ$gilt:

$\begin{array}{ccc}F(\lambda \cdot x)& =& F(({\lambda }_1+i{\lambda }_2)\cdot x)\\ & =& G(({\lambda }_1+i{\lambda }_2)\cdot x)-i\cdot G(i\cdot ({\lambda }_1+i{\lambda }_2)\cdot x)\\ & =& {\lambda }_{1}G(x)+i\cdot {\lambda }_{2}G(x)-i\cdot ({\lambda }_{1}G(i\cdot x)+{\lambda }_{2}iG(i\cdot x))\\ & =& ({\lambda }_1+i{\lambda }_2)\cdot (G(x)-i\cdot G(i\cdot x))\text{ mit }{\lambda }_{2}G(ix)=-i{\lambda }_{2}iG(ix)\\ & =& ({\lambda }_1+i{\lambda }_2)\cdot F(x)=\lambda \cdot F(x)\end{array}$

Beweisteil 4: Hahn-Banach Eigenschaften von F

Mit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional $F:V\to ℂ$ für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für $G:V\to ℝ$. Also bleibt zu zeigen:

• $F{|}_U=f$ und.
• $|F(v)|\le p(v)$ für alle $v\in V$ gilt.

Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U

Sei $u\in U$ beliebig gewählt. Weil $U$ ein Untervektorraum des $ℂ$-Vektorraumes $V$ ist, liegt auch $i\cdot u\in U$. Damit erhält man:

$\begin{array}{ccc}F(u)& =& G(u)-i\cdot G(\underset{\in U}{\underbrace{i\cdot u}})\text{ nach Definition von }F\\ & =& g(u)-i\cdot g(i\cdot u)\text{ wegen }G{|}_U=g\\ & =& f(u)\end{array}$

Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung

Für den Nachweis der Ungleichung $F(x)\le p(x)$ für alle $x\in V$ erfolgt eine Fallunterscheidung für:

• $F(x)=0$ und
• $F(x)=0$.

Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung

Fall $F(x)=0$: Da $p:V\to ℝ$ eine Halbnorm ist, gilt $p(x)\ge 0$. Damit erhält man für $F(x)=0$ die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

$F(x)=|F(x)|=0\le p(x)$

Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung

Fall $F(x)=0$: Im zweiten Fall sei nun $|F(x)|=r>0$ mit $F(x)=r\cdot e^{i\alpha }$, $r\in {ℝ}^{+}$ und $\alpha \in [0,2\pi ]$. Mit $e^{-i\alpha }$ dreht man das komplexwertige $F(x)=0$ so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass $F(x)\cdot e^{-i\alpha }$ so, dass $F(x)\cdot e^{-i\alpha }=|F(x)|$ gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.

Beweisschritt 4.5: Halbnormbeschränkung

Damit erhält man folgende Ungleichung:

$\begin{array}{ccc}\underset{\in {ℝ}^{+}}{\underbrace{|F(x)|}}& =& r=\underset{e^0=1}{\underbrace{e^{-i\alpha }\cdot e^{i\alpha }}}\cdot r=e^{-i\alpha }\cdot \underset{=e^{i\alpha }\cdot r}{\underbrace{F(x)}}\\ & =& F(e^{-i\alpha }\cdot x)\text{ da }Fℂ\text{-linear ist}\\ & =& \underset{=r}{\underbrace{G(e^{-i\alpha }\cdot x)}}-i\underset{=0}{\underbrace{G(i\cdot e^{-i\alpha }\cdot x)}}Im(|F(x)|=0\text{, da}|F(X)|\in ℝ\\ & =& \underset{G(z)\le p(z)\text{ mit }z:=e^{-i\alpha }\cdot x}{\underbrace{G(e^{-i\alpha }\cdot x)\le p(e^{-i\alpha }\cdot x)}}=\underset{=1}{\underbrace{|e^{-i\alpha }|}}\cdot p(x)=p(x)\end{array}$

mit $e^{i\alpha }=\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )$ für alle $\alpha \in ℝ$.

Beweisschritt 4.6

Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional $F:V\to ℂ$ die folgenden beiden Eigenschaften:

• $F{|}_U=f$ und.
• $|F(v)|\le p(v)$ für alle $v\in V$

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

Siehe auch

• Realteil- und Imaginärteilfunktion
• Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach
• Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - reeller Fall
• Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume
• Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
• Komplexe Zahlen in Maxima CAS

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