Stochastische Unabhängigkeit

Unabhängige Ereignisse

Wir wollen zwei Ereignisse $A, B$ unabhängig nennen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit $P (B | A)$ nicht von $A$ abhängt: $P (B | A) = P (B)$ . Wegen der lästigen Voraussetzung $P (A) > 0$ und der fehlenden Symmetrie ziehen wir die folgende Definition vor.

Definition

Ist $P$ Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(Ω, 𝒮)$ und $A, B \subset Ω$ , dann heißen $A$ und $B$ stochastisch unabhängig, falls gilt:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Bemerkungen

Ist $P (A) = 0$ und $B$ beliebig, dann sind $A, B$ unabhängig (beachte, dass $P (A \cap B) \leq P (A)$ ).
Obige Gleichung ist im Fall $P (A) > 0$ äquivalent mit $P (B | A) = P (B)$ .
Aus $A, B$ unabhängig folgt $(\bar{A}, B), (A, \bar{B}), (\bar{A}, \bar{B})$ unabhängig.

Definition

Erweiterung der vorangegangenen Definition auf $n$ Ereignisse.
Sei $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteiltung auf $(Ω, 𝒮)$ und seien $A_{1}, . . ., A_{n} \in 𝒮$ . Dann heißen $A_{1}, . . ., A_{n}$ (stochastisch) unabhängig, falls für jede nichtleere Teilmenge $J : = {j_{1}, . . ., j_{k}} \cap {1, . . ., n}$ gilt

P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) = P ({A_{j}}_{1}) \cdot . . . \cdot P ({A_{j}}_{k})

.

Bemerkung

Ein Begriff, der in der Stochastik keine Rolle spielt, ist der der paarweisen Unabhängigkeit der $A_{1}, . . ., A_{n}$ :

P (A_{i} \cap A_{j}) = P (A_{i}) \cdot P (A_{j}), i \neq j

Daraus folgt nicht notwendigerweise die Unabhängigkeit der $A_{1}, . . ., A_{n}$ .

Unabhängigkeitskriterium

Folgende Eigenschaft der $A_{1}, . . . A_{n}$ erweist sich als äquivalent zur Definition: Für jede echte, nichtleere Teilmenge ${j_{1}, . . ., j_{k}} \subset {1, . . ., n}$ mit $P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) > 0$ und für jedes $i \in {1, . . ., n} ∖ {j_{1}, . . ., j_{k}}$ gilt $P (A_{i} | {A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) = P (A_{i})$ .

Stochastische Unabhängigkeit (Satz)

Unabhängigkeitskriterium ist äquivalent zur stochastischen Unabhängigkeit der $A_{1}, . . ., A_{n}$ .

Beweis - Teil 1

Aus der Definition folgt im Fall $P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) > 0$ sofort

P (A_{i} | {A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k})

= \frac{P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k} \cap A_{i})}{P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k})} = P (A_{i})

.

Beweis - Teil 2

Gilt umgekehrt $P (A_{i} | {A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) = P (A_{i})$ , so liefert unter der Voraussetzung

P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k - 1}) = P (A_{i}) > 0

die Produktformel

P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k}) = P ({A_{j}}_{1}) \cdot P ({A_{j}}_{2} | {A_{j}}_{1}) \cdot P ({A_{j}}_{k} | {A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k - 1})

= P ({A_{j}}_{1}) \cdot . . . \cdot P ({A_{j}}_{k}),

d.h. die Definition.

Gilt $P ({A_{j}}_{1} \cap . . . \cap {A_{j}}_{k - 1}) = P (A_{i}) > 0$ nicht, so zeigt man, dass beide Seiten der Defintion $\emptyset$ sind.

Beispiel

Weißer und schwarzer Würfel. Gegeben $A^{'}, B^{'} \subset {1, . . ., 6}$ . Die Grundmenge $Ω = {1, . . ., 6}^{2}$ enthält die Teilmenge $A = A^{'} \times {1, . . ., 6}$ und $B = B^{'} \times {1, . . ., 6}$ ). Die Augenzahl des ersten Würfels liegt in $A^{'}$ ( $B^{'}$ ). $P$ sei die Gleichverteilung auf $Ω$ . Dann sind $A, B$ unabhängige Ereignisse.

Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen

Erweiterung des Begriffs "Unabhängigkeit" für Ereignisse auf

Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeitsräume)
Zufallsgrößen

Rückblick

Seien $(Ω_{1}, 𝒮_{1}, P_{1})$ und $(Ω_{2}, 𝒮_{2}, P_{2})$ Wahrscheinlichkeitsräume des "Würfels" und einer "Zahl beim Roulette", $Ω_{i} = {1, . . ., 6}$ , $P_{i}$ Gleichverteilung auf $Ω_{i}$ , $(i = 1, 2)$ , $(Ω, P)$ Wahrscheinlichkeitsraum "zweier Würfel", $Ω = {1, . . ., 6} \times {0, 1, . . ., 36}$ , $P$ Gleichverteilung auf $Ω$ . Zeigen Sie, dass

P (A_{1} \times A_{2}) = P_{1} (A_{1}) \cdot P_{2} (A_{2})

mit

P : 𝒮 \to [0, 1]

und

𝒮 : = ℘ (Ω_{1} \times Ω_{2})

für alle $A_{1} \subset Ω_{1}$ , $A_{2} \subset Ω_{2}$ .

Dies gibt Anlass zur folgenden Definition.

Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)

Gegeben sind (diskrete) Wahrscheinlichkeitsräume $(Ω_{1}, 𝒮_{1}, P_{1})$ ... $(Ω_{n}, 𝒮_{𝓃}, P_{n})$ . Der Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, 𝒮, P)$ mit $Ω = Ω_{1} \times . . . \times Ω_{n}$ , $P$ definiert auf $𝒮$ mit

P (A_{1} \times . . . \times A_{n}) = P_{1} (A_{1}) \cdot . . . \cdot P_{n} (A_{n})

für alle $A_{1} \in 𝒮_{1}, . . ., A_{n} \in 𝒮_{n}$ heißt Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume $(Ω_{i}, 𝒮_{𝒾}, P_{i})$ , $i = 1, . . ., n$ . Dabei ist $𝒮$ die kleinste Sigmaalgebra, die alle Mengen $A_{1} \times . . . \times A_{n}$ mit $A_{1} \in 𝒮_{1},$ ... $A_{n} \in 𝒮_{n}$ enthält.

Satz

Sind $(Ω_{1}, 𝒮_{1}, P_{1}), . . ., (Ω_{n}, 𝒮_{n}, P_{n})$ Wahrscheinlichkeitsräume, dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $Ω = Ω_{1} \times . . . \times Ω_{n}$ , welche mit der Definition von $𝒮$ die obige Definition erfüllt.

Beweis (1) Eindeutigkeit:

Jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $(Ω, 𝒮)$ , welche die Definition erfüllt, besitzt ein und dieselbe Wahrscheinlichkeitsfunktion $q (w), w = (w_{1}, . . ., w_{n}) \in Ω$ , nämlich

q (w) = P ({w}) = P ({w_{1}} \times . . . \times {w_{n}}) = P_{1} ({w_{1}}) \cdot . . . \cdot P ({w_{n}})

.

Beweis (2.1) Existenz:

Man definiere die Abbildung $q : Ω \to [0, 1]$ gemäß der Eindeutigkeit, d.h. $q (w) = P ({w}) = P_{1} ({w_{1}}) \cdot . . . \cdot P ({w_{n}})$ . $q$ ist normiert (!), also eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $Ω$ , die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $Ω$ definiert. $P$ erfüllt die Definition, denn

Beweis (2.2) Existenz:

P (A_{1} \times . . . \times A_{n}) = \sum_{w_{1} \in A_{1}, . . ., w_{n} \in A_{n}} q ((w_{1}, . . ., w_{n}))

= \sum_{w_{1} \in A_{1}} P_{1} ({w_{1}}) \cdot . . . \cdot \sum_{w_{n} \in A_{n}} P ({w_{n}})

= P_{1} (A_{1}) \cdot . . . \cdot P_{n} (A_{n}) .

Produktverteilung (Definition)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $Ω_{1} \times . . . \times Ω_{n} = Ω$ , welche die Definition erfüllt, heißt Produktverteiltung, genauer Produkt $P = P_{1} \times . . . \times P_{n} = \otimes_{i = 1}^{n} P_{i}$ , der $P_{1}, . . ., P_{n}$ .

Bemerkungen (1)

1. Die einzelnen Faktoren $P_{1}, . . ., P_{n}$ der Produktverteiltung $P = \otimes_{i = 1}^{n} P_{i}$ (auch Randverteilungen genannt) lassen sich (wie folgt, aus $P$ ) zurückgewinnen:

Ist nämlich $A_{i} \in Ω$ , ( $i = {1, . . ., n}$ ), so setzt man $A = Ω_{1} \times . . . \times Ω_{i - 1} \times A_{i} \times Ω_{i + 1} \times . . . \times Ω_{n}$ und hat

P (A) = 1 \cdot . . . \cdot 1 \cdot P (A_{i}) \cdot . . . \cdot 1 \cdot 1 = P_{i} (A_{i})

Bemerkungen (2)

2. Spezialfall:
$Ω_{1}, . . ., Ω_{n}$ endlich $P = \otimes_{i = 1}^{n} P_{i}$ ist genau dann die Gleichverteilung auf $Ω = Ω_{1} \times . . . \times Ω_{n}$ , wenn jedes $P_{i}, (i = 1, . . ., n)$ Gleichverteilung auf $Ω_{i}$ ist.

In der Tat:

P ({w}) = \frac{1}{| Ω_{1} | \cdot . . . \cdot | Ω_{n} |}

für alle

w = (w_{1}, . . ., w_{n}) \in Ω

(Definition Produkt WKT-Räume) $⇑$ $⇓$ (obige Bemerkung 1)

P_{i} ({w_{i}}) = \frac{1}{| Ω |}

für alle

i = 1, . . ., n, w_{i} \in Ω

Bemerkungen (3)

3. Ist $Ω_{1} = . . . = Ω_{n}, P_{1} = . . . = P_{n}$ , so bildet $Ω_{1}^{n}, \otimes_{i = 1} n P_{i}$ ein Modell für die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperimentes $Ω_{1}, P_{1}$ . (sogenannte "Produktexperimente")

4. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $Ω_{1} \times . . . \times Ω_{n}$ anders zu definieren, als durch $\otimes_{i = 1}^{n} P_{i}$ , so dass immer noch die obige Bemerkung 1 erfüllt ist.

Beispiel (1)

$Ω_{1} = . . . = Ω_{n}, P_{1} = . . . = P_{n}$ ; definiere Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $Ω_{1}^{n}$ durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion

P ((w_{1}, . . ., w_{n})) = {\begin{matrix} P_{1} ({w_{1}}), & w_{1} = . . . = w_{n} \\ 0, & s o n s t \end{matrix} .

$P$ erfüllt nicht die Bemerkung 1, somit ist $P$ keine Produktwahrscheinlichkeit. In der Tat, für $w_{1}$ mit $0 < P_{1} ({w_{1}}) < 1$ gilt für $n$ Ergebnisse $w_{1}$

P ({w_{1}} \times . . . \times {w_{1}})

= P ({(w_{1}, . . ., w_{1})}) = P_{1} ({w_{1}}) \neq [P_{1} ({w_{1}})]^{n} .

Beispiel (2)

Der Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω_{1}^{n}, P)$ , $P$ wie oben beschrieben, steht für das Zufallsexperimen " $n$ identische Wiederholungen", das extreme Gegenteil von " $n$ unabhängige Wiederholungen".

Definition

Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, 𝒮, P)$ seien die Zufallsgrößen $X_{1}, . . ., X_{n}$ definiert, $X_{i} : Ω \to Ω^{'}, i = 1, . . ., n$ . $X_{1}, . . ., X_{n}$ heißen (stochastisch) unabhängig, falls

P (X_{1}^{- 1} (B_{1}) \cap . . . \cap X_{n}^{- 1} (B_{n})) = P (X_{1}^{- 1} (B_{1})) \cdot . . . \cdot P (X_{n}^{- 1} (B_{n}))

für alle $B_{i} \subset Ω_{i}, i = 1, . . ., n$ .

Bemerkungen

1. Für unabhängige $X_{1}, . . ., X_{n}$ sind die Ereignisse $X_{1}^{- 1} (B_{1}), . . ., X_{n}^{- 1} (B_{n})$ unabhängig. In der Tat, ist $J = {j_{1}, . . ., j_{k}} \subset {1, . . ., n}$ nicht leer, dann lautet die Definition mit $B_{j} = Ω'_{j}$ für $j \notin J$ wegen $X_{j}^{- 1} (Ω'_{j}) = Ω$ :

P ({X_{j}}_{1}^{- 1} ({B_{j}}_{1}) \cap . . . \cap {X_{j}}_{k}^{- 1} ({B_{j}}_{k})) = P ({X_{j}}_{1}^{- 1} ({B_{j}}_{1})) \cdot . . . \cdot P ({X_{j}}_{k}^{- 1} ({B_{j}}_{k}))

2. Die Definition lässt sich auch auf folgende Weisen schreiben:

$P ((X_{1}, . . ., X_{n}) \in B_{1} \times . . . \times B_{n}) = P (X_{1} \in B_{1}) \cdot . . . \cdot P (X_{n} \in B_{n})$

$P_{(X_{1}, . . . X_{n})} (B_{1} \times . . . \times B_{n}) = {P_{X}}_{1} (B_{1}) \cdot . . . \cdot {P_{X}}_{n} (B_{n})$ jeweils für alle $B_{i} \subset Ω'_{i}, i = 1, . . ., n$ .

Die letzte Gleichung führt unter Berücksichtigung der Definition der Produktverteilung zu folgendem Satz.

Satz

Die Zufallsgrößen $X_{1}, . . ., X_{n}, X_{i} : Ω \to Ω'_{i}, i = 1, . . ., n$ , sind genau dann unabhängig, falls

P_{(X_{1}, . . ., X_{n})} = {P_{X}}_{1} \times . . . \times {P_{X}}_{n} .

(In Worten: Falls die gemeinsame Verteilung der $X_{1}, . . ., X_{n}$ gleich dem Produkt der Randverteilungen ist.)

Satz

Sind $X_{1}, . . ., X_{n}$ unabhängige Zufallsvariablen und $ϕ_{1}, . . ., ϕ_{n}, ϕ_{i} : ℝ \to ℝ, i = 1, . . ., n$ , dann sind die Zufallsvariablen $ϕ_{1} \circ X_{1}, . . ., ϕ_{n} \circ X_{n}$ ebenfalls unabhängig.

Beweis

Wegen $(ϕ_{i} \circ X_{i})^{- 1} (B_{i}) = X_{i}^{- 1} (ϕ^{- 1} (B_{i})), B_{i} \subset ℝ$ gilt

P ((ϕ_{1} \circ X_{1})^{- 1} (B_{1}) \cap . . . \cap (ϕ_{n} \circ X_{n})^{- 1} (B_{n}))

= P (X_{1}^{- 1} (ϕ_{1}^{- 1} (B_{1})) \cap . . . \cap X_{n}^{- 1} (ϕ_{n}^{- 1} (B_{n})))

= P (X_{1}^{- 1} (ϕ_{1}^{- 1} (B_{1}))) \cdot . . . \cdot P (X_{n}^{- 1} (ϕ_{n}^{- 1} (B_{n})))

= P ((ϕ_{1} \circ X_{1})^{- 1}) \cdot . . . \cdot P ((ϕ_{n} \circ X_{n})^{- 1} (B_{n})) .

Sind also die beiden Zufallsvariablen $X, Y$ unabhängig, dann auch die Zufallsvariablen $| X |, Y^{2}$ und auch die Zufallsvariablen $e^{X}, s i n (Y)$ , nicht aber die Zufallsvaraiblen $X + Y, X - Y$ .

Siehe auch

Seiten-Information

Der Foliensatz für diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:

Bedingte Wahrscheinlichkeit https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit
Datum: 5.11.2018
Wikipedia2Wikiversity-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity
Wiki2Reveal Link-Generator
Dieser Foliensatz gehört zum Kurs:Stochastik

Stochastische Unabhängigkeit

Inhaltsverzeichnis

Unabhängige Ereignisse

Definition

Bemerkungen

Definition

Bemerkung

Unabhängigkeitskriterium

Stochastische Unabhängigkeit (Satz)

Beweis - Teil 1

Beweis - Teil 2

Beispiel

Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen

Rückblick

Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)

Satz

Beweis (1) Eindeutigkeit:

Beweis (2.1) Existenz:

Beweis (2.2) Existenz:

Produktverteilung (Definition)

Bemerkungen (1)

Bemerkungen (2)

Bemerkungen (3)

Beispiel (1)

Beispiel (2)

Definition

Bemerkungen

Satz

Satz

Beweis

Siehe auch

Seiten-Information

Navigationsmenü

Stochastische Unabhängigkeit

Unabhängige Ereignisse

Definition

Bemerkungen

Definition

Bemerkung

Unabhängigkeitskriterium

Stochastische Unabhängigkeit (Satz)

Beweis - Teil 1

Beweis - Teil 2

Beispiel

Produktexperimente, unabhängige Zufallsgrößen

Rückblick

Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume (Definition)

Satz

Beweis (1) Eindeutigkeit:

Beweis (2.1) Existenz:

Beweis (2.2) Existenz:

Produktverteilung (Definition)

Bemerkungen (1)

Bemerkungen (2)

Bemerkungen (3)

Beispiel (1)

Beispiel (2)

Definition

Bemerkungen

Satz

Satz

Beweis

Siehe auch

Seiten-Information

Navigationsmenü

Suche