S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe/Lösung

Als Antipodenabbildung erhalten wir die Matrix

$dA=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ $\in$ ${ℝ}^{3x3}$.

Folglich ist die Determinante von $dA$ genau -1, also

$\det (dA)=-1<0$
und somit ist $S^2$ nicht orientierunstreu.

Insbesondere erhalten wir daraus, dass $S^n$ genau dann orientierunstreu ist, wenn $n$ ungerade ist.