Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt/Beweis2

Sei $a\in \mathbb{Z}/(p)$ eine Einheit, also teilerfremd zu $p$. Die Projektion $\phi :\mathbb{Z}/(p^r)⟶\mathbb{Z}/(p)$ ist eine Restklassenabbildung, also surjektiv, sodass es Elemente $b\in \mathbb{Z}/(p^r)$ gibt, die auf $a$ geschickt werden: $\phi (b)=a$. Wir zeigen, dass ein solches Element eine Einheit in $\mathbb{Z}/(p^r)$ ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist $b$ nicht teilerfremd zu $p^r$ und zu $p$, also ist es ein Vielfaches von $p$, sagen wir $b=mp$. Dann gilt in $\mathbb{Z}/(p^r)$ die Beziehung

$b^r=(pm{)}^r=p^r{m}^r=0.$

Das heißt, dass das Element $b$ nilpotent ist. Dann ist aber ebenfalls $\phi (b)$ nilpotent, da ein Ringhomomorphismus nilpotente Elemente in nilpotente Elemente überführt. Dies bedeutet $a=\phi (b)=0$ im Widerspruch dazu, dass $a$ eine Einheit ist.