Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Mit Begründungsfenstern/2

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left(\frac{53}{311}\right)$	=	$\left(\frac{311}{53}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left(\frac{46}{53}\right)$Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 2
	=	$\left(\frac{2}{53}\right)$ $\left(\frac{23}{53}\right)$Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 3
	=	-$\left(\frac{23}{53}\right)$$53=5mod8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$. ||
	=	-$\left(\frac{53}{23}\right)$$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	-$\left(\frac{7}{23}\right)$Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 6
	=	$\left(\frac{23}{7}\right)$$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. ||
	=	$\left(\frac{2}{7}\right)$Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/Grund 8
	=	$1$$7=-1mod8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^2=2mod7$). ||

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.