Projekt:Mathematik ist überall/Aktuelles/Peirce-Zahlen

Charles Sanders Peirce

Die Peirce-Zahlen (nach Charles S. Peirce; auch Peirce-Folge oder - mit der nötigen Vorsicht - Peirce-Kontinuum) bilden eine Zahlenmenge.

Der Begriff des Kontinuums ist in der modernen Mathematik umstritten und auch hier wird auf diese Problematik eingegangen. Die Interpretation als Folge darf zumindest als etabliert angesehen werden, sie ist dann aber dem allgemeinen Sprachgebrauch geschuldet. Folgen werden oft vereinfachend als geordnete Menge von Zahlen angesehen.

Die Peirce-Zahlen können als eine präzisere Fassung der rationalen Zahlen aufgefasst werden. Im Vordergrund stehen hier die Werte der Elemente und erst an zweiter Stelle deren Aufbau aus Zähler und Nenner.

In letzter Zeit rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Focus des allgemeinen Interesses. So gibt es interessante Untersuchungen auf den Gebieten der Zahlentheorie. Auch die nichtlineare Struktur von "geradlinigen Punktmengen" (Linien, nicht unbedingt euklidische Geraden) erscheint durch die Peirce-Zahlen in einem neuen Licht.

Geschichtliches

Georg Cantor

Charles Sanders Peirce versuchte – inspiriert durch Cantor – ein Kontinuum zu erarbeiten. Im Gegensatz zu den Arbeiten Cantors basieren die Arbeiten von Peirce auf einer partikulären Betrachtung der Elementeigenschaften. Sein Ansatz nutzte die rationalen Zahlen als Ausgangspunkt und lautete:

Für irgendzwei Elemente a, b existiert stets ein Element c mit a < c < b.

Diese Betrachtungssweise von Problemen seitens Peirce ist auch in seinen Arbeiten zur Abdunktion zu erkennen.

Datei:PierceTimeLine.svg

Die Arbeiten von Peirce auf dem Gebiet des Kontinuumgedankens werden in zeitliche Abschnitte eingeordnet, um sein Schaffen mit dem von Cantor besser zu vergleichen .

Hier werden hauptsächlich die neueren Aspekte der Peirce-Folge betrachtet. Trotzdem ist die Parallelität zu den Arbeiten Cantors sehr wichtig. Die Inhalte und Konsequenzen beider Sichtweisen führen sehr tief in die Grundlagen der modernen Mathematik.

Argumente für ein Kontinuum

Der von Peirce gezeigte generative Aufbau der Menge $𝕍$ (V für Value) hat durchaus Parallelen zum Kontinuum von Cantor.

1. Argument	2. Argument	3. Argument
Die Abstände zwischen den Elementen werden infinitesimal klein (für Peirce noch ununterscheidbar klein, weil $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ zu seinen Lebzeiten durchaus üblich).	Es ist ein treppenartiger Verlauf wie bei den Werten der Cantor-Menge vorhanden. Jede Menge, die eine Cantor-Menge enthält ist ein Kontinuum.	Die Mächtigkeit nach n Generationen beträgt $2^n+1$.

Das dritte ist das stärkste und verwirrendste Argument für ein cantorsches Kontinuum. Kurioserweise bezieht dieses Argument seine Stärke aus Cantors erstem Diagonalargument der Abzählbarkeit. Vorlage:Spaltensatz Ende

Unterschiede in den Ansätzen

Peirce war auch Philosoph und dort vor Allem auf dem Gebiet der Logik tätig. Für ihn bestand zunächst kein Unterschied zwischen seiner Betrachtung und der Tatsache, dass auch Elemente aus $\mathbb{Q}$ stets die eben beschriebene Eigenschaft haben.

Das änderte sich spätestens mit Cantors Beweis zur Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Hier gibt es für jedes Element unendlich (präzise: abzählbar unendlich) viele mit gleichem Wert. So sind die Werte von

$\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6}...$

alle gleich. Die Elemente der Zahlenmenge $\mathbb{Q}$ sind aus $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ aufgebaut. Cantor bewies mit seinem Zählverfahren auch, dass alle abzählbaren Mengen stets die Mächtigkeit (Betrag) der natürlichen Zahlen haben.

Cantors Herangehensweise war allgemein, die Menge betreffend, während Peirce die Partikeleigenschaften (Elemente der Menge) zum Ausgangspunkt machte. Die abduktive Herangehensweise von Peirce wurde dem Anspruch des Kontinuums nach seiner Überzeugung gerecht. Die Abduktion in dieser Form kann als Erweiterung der syllogistischen Logik angesehen werden.

Erst die Formulierung der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik (ZFC) zeigt, dass Peirce kein Kontinuum im Cantorschen Sinne präsentierte.

Weil die ZFC aber bis heute nicht als völlig widerspruchsfrei bezeichnet werden kann, rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Vordergrund. Hier sei nur das Gebiet der Nichtstandardanalysis angeführt.

Erste Detaillierung

Die rein partikuläre Betrachtung von Peirce bedurfte nun einer Umformulierung, denn die einfache Anwendung der Trichotomie ganzer Zahlen

$a,b\in \mathbb{Z}\Rightarrow ((a<b)\vee (a>b))$

ist in $\mathbb{Q}$ nicht mehr gegeben.

Weil Peirce von den Elementen und ihren Eigenschaften auf die Menge (abduktiv) schließen wollte und das (für ihn) entscheidende Kriterium der Wert war, präsentierte Peirce eine abgewandelte Version. Außer dem Enthaltensein in $\mathbb{Q}$ muss auch Teilerfremdheit von Zähler und Nenner gegeben sein.

$𝕍=\{q=\frac{z}{n}:(n,z\in \mathbb{Z})\wedge ggT(n,z)=1\}$

Mit diesen Voraussetzungen ist die Unterscheidbarkeit der Elemente über ihre Werte gewährleistet. Auf die Feinheit, die 0 (Null) im Nenner auszuschließen verzichtete Peirce, denn zur Zeit seines Wirkens war es durchaus üblich eine Division durch 0 (Null) mit $\mathrm{\infty }$ als gültig anzusehen.

Damit sind auch die Werte aller Elemente unterscheidbar. Peirce konnte die Erschließung also weiter an den Eigenschaften orientieren, ohne auf seine anfängliche Forderung zu verzichten. Vorlage:Spaltensatz Ende
Vorlage:Spaltensatz Start Vorlage:Doppelspalte

Erzeugung der Elemente

Augustin Louis Cauchy

Peirce nutzte eine besondere Form der Addition, um die Elemente der Menge $𝕍$ zu erzeugen, die nach John Farey benannt ist. Ob Peirce die Addition aus der einzigen Veröffentlichung Fareys im Philosophical Magazine von 1816 zu diesem Thema entnahm darf bezweifelt werden, zumal Farey in seiner Veröffentlichung keinen Beweis für seine Behauptung lieferte.

Cauchy stieß auf Fareys Behauptung und erbrachte den fehlenden Beweis (Exercices de mathématiques, I, 114-116)). Offensichtlich wurde dem Beispiel Cauchys gefolgt, und die Entdeckung wurde allgemein Farey zugeschrieben.

Die erforderlichen Eigenschaften der Farey-Addition ergeben sich auch aus den Werken von Diophantos von Alexandrien. So gilt für jede Addition teilerfremder Zahlen

$(ggT(a,b)=1)\wedge (a+b=c)\Rightarrow (ggT(a,c)=ggT(b,c)=1)$

Peirce formulierte folgenden Ansatz, der analog zur Farey-Folge ist, jedoch ohne die dort vorhandene Einschränkung, dass der maximale Nenner die aktuelle Generation (in Farey-Folgen oft auch Ordnung genannt) nicht überschreiten darf.

$\begin{array}{cc}0:& \frac{0}{1}\frac{1}{0}\\ 1:& \frac{0}{1}\frac{1}{1}\frac{1}{0}\\ 2:& \frac{0}{1}\frac{1}{2}\frac{1}{1}\frac{2}{1}\frac{1}{0}\end{array}$ Vorlage:Spalte rechts Es zeigt sich, dass in jeder weiteren Generation die neuen (roten) Elemente aus der Addition von Zähler und Nenner der unmittelbar benachbarten Elemente gebildet werden. Die Übereinstimmung mit der Farey-Folge ist bis zur 3ten Generation gegeben. Ab der 4ten Generation gilt für die Farey-Folge die Einschränkung, dass der Nenner $n_e$ irgendeines Elements die Generationsnummer $N$ nicht übersteigen darf.

Um im Kontext zum Cantorschen Kontinuum zu bleiben, werden die Peirce-Zahlen ab jetzt nur im Intervall [0 ...1] betrachtet. Das ist ohne Probleme möglich, weil das Element $\frac{1}{1}$ ein sog. Symmetrieelement ist. Es handelt sich dabei um eine Eigenschaft der Peirce-Zahlen bzw. der Peirce-Folge. Für Elemente mit gleichem Abstand von diesem zentralen Element gilt stets folgende Beziehung:

Sei $e_l$ das linksseitige und $e_r$ das rechtsseitige Element, dann gilt:

$e_l={\frac{1}{e}}_r$

Damit kann die Vorschrift zur Erzeugung schon etwas reduziert werden. Statt des rechtsseitigen Elements $\frac{1}{0}$ genügt nun das Element $\frac{1}{1}$. Die Vorschrift für die einzelnen Generationen bleibt erhalten.

Auf eine Erweiterung des Intervalls wird bei Bedarf jeweils ausdrücklich hingewiesen. Vorlage:Spaltensatz Ende
Vorlage:Spaltensatz Start Vorlage:Doppelspalte Vorlage:/Umformulierung der Farey-Addition Vorlage:Spaltensatz Ende
Vorlage:Spaltensatz Start Vorlage:Doppelspalte Vorlage:/Eigenschaften der Peirce-Zahlen Vorlage:Spaltensatz Ende
Vorlage:Spaltensatz Start Vorlage:Doppelspalte Vorlage:/Bezüge zur Zahlentheorie Vorlage:Spaltensatz Ende
Vorlage:Spaltensatz Start Vorlage:Doppelspalte Vorlage:/Elemente als Kettenbrüche Vorlage:Spaltensatz Ende

Häufige Fehlinterpretationen

Leider wird die Peirce-Folge oft mit der Farey-Folge verwechselt. So werden Operationen und weiterführende Assoziationen oft einfach als "fareysch" attributiert, obwohl nur in den Peirce-Zahlen definiert. Vorlage:Spalte links

Farey-Addition

Die Farey-Addition ist in ihrer einfachen Verwendung

$\frac{z_i^{(g)}}{n_i^{(g)}}\oplus \frac{z_{i+1}^{(g)}}{n_{i+1}^{(g)}}=\frac{z_i^{(g)}+z_{i+1}^{(g)}}{n_i^{(g)}+n_{i+1}^{(g)}}\to {𝔽}^{(g+1)};\frac{z_i^{(g)}}{n_i^{(g)}},\frac{z_{i+1}^{(g)}}{n_{i+1}^{(g)}}\in {𝔽}^{(g)}$

nicht abgeschlossen. Erst die zusätzliche Berücksichtigung der sog. Ordnung (hier Generation) sichert die Abgeschlossenheit und Wohldefiniertheit. Vorlage:Spalte rechts

Ford-Kreise

Ford-Kreise der Farey-Reihe fünfter Ordnung

Leider gibt es auch fehlerhafte Verwendungen des Begriffs "Peirce-Folge". So ist die Erzeugung von Ford-Kreisen nur mit Elementen der Farey-Folge möglich. Bei der Peirce-Folge ergeben sich wegen der nicht vorhandenen Beschränkung des maximalen Nenners auf die aktuelle Generation falsche Radien. Die Kreise aus der Peirce-Folge würden sich schneiden. Vorlage:Spaltensatz Ende

Siehe auch

Farey-Folge

Literatur

Autor	Titel	Verlag	Jahr	ISBN
Deiser	Einführung in die Mengenlehre	Springer	2002	ISBN=3-540-42948-4
Aigner, Ziegler	Das Buch der Beweise	Springer		3-540-40185-7
Ebbinghaus, Flum, Thomas	Einführung in die Mathematische Logik	Spektrum	2007	978-3-8274-1691-9
Gardner	Mathematischer Karneval	Ullstein	1993
Basieux	Die Architektur der Mathematik	Rowohlt	2000	3-499-61119-8
Schark	Konstanten in der Mathematik - variabel betrachtet	Harri Deutsch	2007	3-8171-1231-9

Quellen

http://plato.stanford.edu/entries/peirce/

http://www.peirce.org/