Logarithmus

Logarithmus

• Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens
• Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation
• Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition

Denn es gilt

$x={\log }_{b}a$

$\iff b^x=b^{{\log }_{b}a}$

$\iff b^x=a$

Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division

$x=\frac{a}{b}$

$\iff b\cdot x=b\cdot \frac{a}{b}$

$\iff b\cdot x=a$

Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion

$x=a-b$

$\iff b+x=b+a-b$

$\iff b+x=a$

Schreibweise

Man schreibt für den Logarithmus von $a$ zur Basis $b$

$x={\log }_{b}a$

und sagt: „$x$ ist der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$“. $a$ heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand. Das Ergebnis $x$ des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis $b$ potenzieren muss, um den Numerus $a$ zu erhalten. Passend zu $x={\log }_{b}a$ ist also $b^x=a$.

Rechenregeln

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

${\log }_b(x\cdot y)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$

zur Verfügung;

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

${\log }_b\frac{x}{y}={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers $x$ minus den Logarithmus des Nenners $y$.

Insbesondere ergibt sich daraus (da $\log 1=0$):

${\log }_b\frac{1}{x}=-{\log }_{b}x$

Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das Kehrwertgesetz:

${\log }_b\frac{x}{y}=-{\log }_b\frac{y}{x}$

Summen und Differenzen (selten genutzt)

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie $x+y$ hergeleitet werden, indem $x$ ausgeklammert wird:

$x+y=x(1+\frac{y}{x}).$

Damit ergibt sich die „Regel“

${\log }_b(x+y)={\log }_{b}x+{\log }_b(1+\frac{y}{x}).$

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent $r$ gilt die Regel

${\log }_b\left(x^r\right)=r{\log }_{b}x.$

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Auch daraus lässt sich für $r=-1$

${\log }_b\frac{1}{x}=-{\log }_{b}x$

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs $\frac{1}{x}$ ist der negative Logarithmus des Nenners $x$.

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

${\log }_b\sqrt[n]{x}={\log }_b\left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}{\log }_{b}x.$

Aufgaben

1. Berechne ${\log }_{10}(4)+{\log }_{10}(25)$
2. Berechne $({\log }_{12}(24){)}^2$
3. Berechne $\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}$

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis $b$ mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis $a$ zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}$

denn mit $y={\log }_{b}x$ gelten die Umformungen

$\begin{array}{cc}{b}^y& =x\\ {\log }_a{b}^y& ={\log }_{a}x\\ y{\log }_{a}b& ={\log }_{a}x\\ y& =\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}\end{array}$

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ oder ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$

Beispiel

${\log }_{10}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}10}=\frac{\ln 8}{\ln 10}$

für beliebige positive Zahlen $x$ ist $\frac{\ln x}{{\log }_{10}x}=\ln 10\approx 2,302585$

Aufgaben

1. Berechne ${\log }_4(10)$
2. Berechne ${\log }_{12}(36)$
3. Berechne $\ln (e)$
4. Berechne ${\log }_5(5)$

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Der Logarithmus bzw. die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion $f$, mit der Basis $a$ ($a>0$ und $a\ne 1$).

Exponentialfunktion

$f_a(x)=a^x$

Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.

Logarithmusfunktion

${\tilde{f}}_a(x)={\log }_a(x)$

Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4

Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen

Neben der allgemeinen Schreibweise

$f_a(x)=a^x$

${\tilde{f}}_a(x)={\log }_a(x)$

gibt es noch weitere spezielle Bezeichnungen, je nach benutzter Basis $a$.

Basis $a=2$

$f_2(x)=2^x$

${\tilde{f}}_2=lo{g}_2(x)=ld(x)$, $ld$ ist die Abkürzung für $lo{g}_2$ und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus).

Basis $a=e$

$f_e(x)=e^x$, :$e$ steht hier für die Eulersche Zahl und entspricht in etwa $e=2,718$

${\tilde{f}}_e=lo{g}_e(x)=ln(x)$, $ln$ ist die Abkürzung für $lo{g}_e$ und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus).

Basis $a=10$

$f_{10}(x)=10^x$

${\tilde{f}}_{10}=lo{g}_{10}(x)=lg(x)$, $lg$ ist die Abkürzung für $lo{g}_{10}$ (Dekadischer Logarithmus). Auf dem Taschenrechner wird $lg$ oft fälschlicherweise als $log$ bezeichnet.

Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon

Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an.

Quadratfunktion

Wir definieren die quadratische Funktion $f(x)=x^2$ Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich $𝔻$ und Wertebereich $𝕎$ von $f$. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert $f(x)$ bzw. $y$ annehmen können. In die Funktion $f(x)=x^2$ dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also $ℝ$. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt $(0,0)$). Der Wertebereich ist also ${ℝ}_0^{+}$.

Mathematische Notation der Quadrat-Funktion

$f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$

$x\mapsto f(x)=x^2$

Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall $x$, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: $f(x)=x^2$).

Wurzelfunktion

Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :${ℝ}_0^{+}$. Ebenso ist der Wertebereich definiert.

Mathematische Notation der Wurzel-Funktion

$\tilde{f}:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}$

$x\mapsto \tilde{f}(x)=\sqrt{x}$

Was passiert beim Umkehren

Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen $f$ und $\tilde{f}$. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion $g$. Die Definition von $g$ ist:

$g:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}$

$x\mapsto g(x)=f(\tilde{f}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x}{)}^2=x$

Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle $x$ aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder $x$ herauskommt.

Beispiel

Sei $x=3$.

$f(x)=x^2\Rightarrow f(3)=3^2=9$

$\tilde{f}(x)=\sqrt{x}\Rightarrow \tilde{f}(f(x))=\sqrt{f(x)}\Rightarrow \tilde{f}(9)=\sqrt{9}=3=x$

Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis $a$, hier benannt als $f_a$, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden ($𝔻=ℝ$). Alle Funktionswerte von $f_a$ sind größer als $0$, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer $0$ ($𝕎={ℝ}^{+}$). In anderen Worten $x$ kann zwischen $-\mathrm{\infty }$ und $\mathrm{\infty }$ liegen, also $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$. Die Funktionswerte sind größer $0$, also $0<f_a(x)<\mathrm{\infty }$.

$f_a:ℝ\to {ℝ}^{+}$

$x\mapsto f_a(x)=a^x$ mit ($a>0$ und $a\ne 1$)

Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis $a$, hier als ${\tilde{f}}_a$ bezeichnet, hat den Definitionsbereich ${ℝ}^{+}$ und den Wertebereich $ℝ$.

${\tilde{f}}_a:{ℝ}^{+}\to ℝ$

$x\mapsto {\tilde{f}}_a(x)=lo{g}_a(x)$ mit ($a>0$ und $a\ne 1$)

Was passiert beim Umkehren

Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis $a$) nacheinander ausführen. Wir führen zuest ${\tilde{f}}_a$ aus und dann $f_a$, bennenen wir dies als $g_a$ dann gilt:

$g_a:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$

$x\mapsto g_a(x)=f(\tilde{f}(x))=a^{lo{g}_a(x)}=x$

Beispiel

Sei die Basis $a=2$.

$f_2(x)=2^x$

${\tilde{f}}_2(x)=lo{g}_2(x)=ld(x)$ ($ld$ steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für $lo{g}_2$)

$g_a(x)=2^{l}d(x)$

Sei $x=8$.

$f_2(x)=2^x\Rightarrow f_2(8)=2^8=256$

${\tilde{f}}_2(x)=ld(x)\Rightarrow {\tilde{f}}_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8$

Aufgaben

1. In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen $x$, die in die Funktion ${\tilde{f}}_a:{ℝ}^{+}\to ℝ$ mit $x\mapsto {\tilde{f}}_a(x)=lo{g}_a(x)$ eingesetzt werden dürfen.
2. In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von ${\tilde{f}}_a$.
3. Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion $h_a$ mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. $h_a$ soll die Funktion sein bei der zuerst $f_a$ und dann ${\tilde{f}}_a$ ausgeführt wird.
4. Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von $a^x$ und ${\log }_a(x)$ verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92