Lemma Integralmittelwert

Lemma

Sei $f\in C({ℝ}^n)$ eine stetige Funktion. Für alle $x\in {ℝ}^n$ gilt: $$\frac{1}{|B_{ϵ}(x)|}\underset{B_{ϵ}(x)}{\int }f(y)dy\to f(x)\text{für}ϵ\to 0.$$

Hierbei ist $B_{ϵ}(x)$ die offene Kugel im ${ℝ}^n$ mit Radius $ϵ$ um x und $|B_{ϵ}(x)|$ das zugehörige Volumen dieser Kugel.
Beweisidee: $\frac{1}{|B_{ϵ}(x)|}\underset{B_{ϵ}(x)}{\int }1dy=1$. Ziehen Sie f(x).1 von der linken Seite ab verwenden Sie die Abschätzung $|\int ...dy|\le \int |...|dy$ und die Stetigkeit von f.