Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 6

Matrizen

Eine Matrix ist ein $n\times m$ Schema mit $n\times m$ Zahlen, welches aus n Spalten und m Zeilen besteht.

Beispiel:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$

Alternativ kann eine Matrix auch mit $(a_{ij})$ angegeben werden, wobei der Index $i=1,\dots ,m$ die Zeilen, und der Index $j=1,\dots ,n$ die Spalten kennzeichnet.

Anmerkung:

Die eckige Klammer ist eher in Amerika üblich. Im europäischen Raum nutzt man zumeist runde Klammern, wie unten gezeigt. Grund zur Sorge besteht nicht: Die Form der Klammern spielt keine Rolle. (Ausnahme sind „Betrags-Striche“.)

Vektoren — Eine Sonderform der Matrix

Eine Sonderform der Matrix ist eine Matrix mit einer Spalte. (bzw. drei Zeilen) Dies sind Vektoren (siehe Modul Vektoren).

Zeilenvektor

$\overrightarrow{a}=\left(a_1{a}_2{a}_3\right)$

Spaltenvektor

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$

Matrixoperationen

Definition: Eintrag

Die Elemente einer Matrix heißen Einträge.

Die Position eines Eintrags innerhalb der Matrix wird durch einen Doppel-Index i, j angegeben. (wobei i der Index der Zeile, und j Index der Spalte heißt)

$a_{ij}$

Beispiel:

$a_{32}$

(Der Eintrag befindet sich in der dritten Zeile, und in der zweiten Spalte.)

Gleichheit von Matrizen

Definition:

Zwei Matrizen heißen gleich, wenn sie gleichen Typs sind ($m_A=m_B\wedge n_A=n_B$), und wenn ferner alle Elemente gleich sind. ($a_{ij}=b_{ij}$ für alle i, j)

Addition/Subtraktion von Matrizen

Matrizen können nur mit Matrizen gleichen Typs addiert/subtrahiert werden.

Definition: Matrizen gleichen Typs werden addiert/subtrahiert, indem die Elemente der jeweiligen Matrizen mit der selben Position addiert werden.

$A\pm B=(a_{ij})\pm (b_{ij})=(a_{ij}\pm b_{ij})$

Beispiel:

$C=A+B=\left[\begin{array}{cc}1& 17\\ 42& 3\\ 7& 29\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}34& 23\\ -2& 27\\ 13& 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}35& 40\\ 40& 30\\ 20& 40\end{array}\right]$

Achtung: Wenn Matrizen unterschiedlichen Typs addiert werden sollen, können die Matrizen mit fehlenden Einträgen mit Nullen erweitert werden: (da gilt: $0+a=a$)

Beispiel:

$\left[\begin{array}{cc}1& 17\\ 42& 3\\ 7& 29\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}35& 40& 7\\ 40& 3& 10\\ 20& 40& 11\\ 13& 42& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 17& 0\\ 42& 3& 0\\ 7& 29& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}35& 40& 7\\ 40& 3& 10\\ 20& 40& 11\\ 13& 42& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}36& 57& 7\\ 82& 6& 10\\ 27& 69& 11\\ 13& 42& 0\end{array}\right]$

Rechenregeln

a) Kommutativität

$A+B=B+A$

b) Assoziativität

$A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C$

Skalarmultiplikation einer Matrix

Sei $\lambda$ ein beliebig großer Skalar (und es gelte $\lambda \in ℝ$), und A eine Matrize vom Typ $m\times n$ dann ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar wie folgt definiert.

$\lambda \cdot A:=\left[\begin{array}{cccc}\lambda \cdot a_{11}& \lambda \cdot a_{12}& \dots & \lambda \cdot a_{1n}\\ \lambda \cdot a_{21}& \lambda \cdot a_{22}& \dots & \lambda \cdot a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda \cdot a_{m1}& \lambda \cdot a_{m2}& \dots & \lambda \cdot a_{mn}\end{array}\right]$

Ergo $\lambda \cdot A:=\lambda \cdot a_{ij}$ für alle i, j.

Beispiel:

$4\cdot A=4\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 17& 8\\ 12& 23& 42\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4\cdot 1& 4\cdot 2& 4\cdot 3\\ 4\cdot 4& 4\cdot 17& 4\cdot 8\\ 4\cdot 12& 4\cdot 23& 4\cdot 42\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 12\\ 16& 68& 32\\ 48& 92& 168\end{array}\right]$

Rechenregeln

a) Distributivität

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

$(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$

b) Assoziativität

$\alpha (\beta A)=\beta (\alpha A)=(\beta \alpha )A$

Multiplikation von Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen kann nur gebildet werden, wenn die Zeilenanzahl der ersten Matrix der Spaltenanzahl der zweiten Matrix entspricht.

${\displaystyle }$ Seien die Matrizen $A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 9\end{array}\right]$ und $B=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 1\end{array}\right]$ gegeben. So ist $A\cdot B$:

$A\cdot B:=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 9\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\cdot 3& 5\cdot 2\\ 3\cdot 6& 9\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 10\\ 18& 9\end{array}\right]$

Anmerkung:

Sind die Matrizen nicht vom gleichen Typ, so können sie abermals mit Nulleinträgen erweitert werden.

Besondere Matrizen

Nullmatrix

Definition:

Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, wird Nullmatrix genannt.

$a_{ij}=0$

Diagonalmatrix

Definition:

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, wo alle Einträge außerhalb der Haupt-Diagonale 0 betragen.

$a_{ij}=0$ für alle $i\ne j$.

Beispiel: Sei $a\ne 0$.

$\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right]$

Einheitsmatrix E

Definition:

Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, wo jeder Eintrag der Hauptdiagonale 1 beträgt.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{für }i=j\\ 0,& \text{für }i\ne j\end{array}$

Anmerkung:
Das verwendete Symbol heißt Kronecker-Symbol. Es wird repräsentativ für die dahinter beschriebenen Rechenregeln verwendet.

Beispiel:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Quadratische Matrix

Definition:

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, wo die Spaltenanzahl der Zeilenanzahl entspricht.

$m=n$

Transponierte Matrix

Definition:

Bei einer transponierten Matrix sind Zeilen und Spalten vertauscht.

$A=(a_{ij})\iff A^T=(a_{ji})$

Beispiel:

Sei $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ gegeben, so ist $A^T$:

$A^T=A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

Symmetrische Matrix

Definition:

Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn gilt:

$A=A^T$, also $a_{ij}=a_{ji}$ für alle i, j.

Antisymmetrische Matrix

Definition:

Eine Matrix heißt antisymmetrisch, wenn gilt:

$-A=A^T$