Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 2

Relationen und Funktionen

Relationen

Eine Relation R beschreibt das Verhältnis von zwei mathematischen Objekten. Bei einer mathematischen Relation ist stets klar, ob sie besteht oder nicht.

Sofern nicht anders angegeben, sind die zwei Objekte, die in Relation zueinander stehen ein geordnetes Paar.

Formal ist eine Relation definiert als eine Teilmenge R von $A\times B$. ($R\subseteq A\times B$)

Steht nun ein Element a in Relation zu einem entsprechendem Element b ($a\in A,b\in B$), so wird dies durch

• $(a,b)\in R$

oder

• $a𝐑b$

ausgedrückt.

Sind $a,b$ nicht Elemente der selben Grundmenge (bspw. $x\in X\wedge y\in Y,X\ne Y$), heißt die Relation heterogen.

Sofern gilt $X=Y$, also die Grundmengen äquivalent sind, heißt die Relation homogen oder Relation in/auf der Menge X.

Relationsattribute

Eine Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element $x\in X$ in Relation zu sich selbst steht:

$\mathrm{\forall }x\in X:(x,x)\in R\text{bzw.}x𝐑x$.

Eine Relation R heißt irreflexiv, wenn kein Element $x\in X$ in Relation zu sich selbst steht:

$\mathrm{\forall }x\in X:(x,x)\in ̸R$.

Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn die Relation ungerichtet ist:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R$.

Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn keine zwei Elemente in beide Richtungen in Relation stehen:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in ̸R$.

Eine Relation in R heißt antisymmetrisch, wenn keine zwei verschiedenen Elemente in beide Richtungen in Relation stehen:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(x,y)\in R\wedge (y,x)\in R\Rightarrow x=y$.

Eine Relation R heißt transitiv, wenn Ende und Anfang einer verbundenen Sequenz verbunden sind.

$\mathrm{\forall }x,y,z\in X:(x,y)\in R\wedge (y,z)\in R\Rightarrow (x,z)\in R$.

Äquivalenzrelation

Eine Relation, die sich durch gewisse Attribute definiert heißt Äquivalenzrelation.

Eine Äquivalenzrelation definiert sich durch die Attribute:

• Reflexivität

• Symmetrie

• Transitivität

Beispiele

Beispiele für Äquivalenzrelationen:

• Gleichheitsrelation ($=$)

• Parallelität ($||$)

Äquivalenzklassen

Eine Äquivalenzklasse ist die Menge aller äquivalenten Elemente.

Eine ÄK aller $a$ wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:

• $\left[a\right]$

oder

• $\overline{a}$.

Jedes $a$ aus $\overline{a}$ heißt Vertreter bzw. Repräsentant von $\overline{a}$.

Definition:

Sei $$ eine Äquivalenzklasse in einer nichtleeren Menge X und $x\in X$. Dann heißt

$\overline{a}=\{b\in X|bx\}$ von $a$ bezgl. der Äquivalenzrelation $$.

Abbildungen/Funktionen

Eine Abbildung oder Funktion $f$ bildet eine Menge X auf bzw. in eine Menge Y ab.

Gennant Abbildung von X nach Y oder Abbildung von X in Y.

Formal:

$f:X\mapsto Y$

X wird hierbei Definitionsmenge $𝔻$ oder Urbild genannt, und Y heißt Wertemenge $𝕎$. Die Menge von $f(x)$ heißt Bildmenge oder Bildbereich.