Kurs:Vektoranalysis

Vektorwertige Funktionen

Felder

Vektor-Operatoren

Gradient

Definition: Gradient

Einem stetig differenzierbaren Feld $\varphi (𝐫)$ wird in jedem Raumpunkt $𝐫$ ein vektorielles Feld, das sogenannte Gradientenfeld zugeordnet:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi :=(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3})$

Definition: Nabla-Operator

Der Vektor-Differentialoperator

$\mathrm{\nabla }:=(\frac{\partial }{\partial x_1},\frac{\partial }{\partial x_2},\frac{\partial }{\partial x_3})$

heißt Nabla-Operator. Man schreibt das Gradientenfeld auch $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi$.

Regeln für die Gradientenbildung:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}({\varphi }_1+{\varphi }_2)=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\varphi }_1+\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\varphi }_2$

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}({\varphi }_1{\varphi }_2)={\varphi }_2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\varphi }_1+{\varphi }_1\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\varphi }_2$