Determinanten

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende $1 \times 1$ -Matrix $A$ ist

\det (A) = \det (\begin{matrix} a_{11} \end{matrix}) = a_{11}

Geometrische Deutun: Parallelogramm-Fläche

Ist $A$ eine $2 \times 2$ -Matrix, dann ist

\det (A) = \det (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}

Geometrische Deutung: Spatvolumen

Für eine $3 \times 3$ -Matrix $A$ gilt die folgende Formel:

\det (A) = \det (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die w: Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Epsilontik

Zwischen dem Epsilon-Tensor und dem Kronecker-Delta gilt die Beziehung

ε_{i j k} ε_{l m n} = | \begin{matrix} δ_{i l} & δ_{i m} & δ_{i n} \\ δ_{j l} & δ_{j m} & δ_{j n} \\ δ_{k l} & δ_{k m} & δ_{k n} \end{matrix} | = δ_{i l} δ_{j m} δ_{k n} + δ_{i m} δ_{j n} δ_{k l} + δ_{i n} δ_{j l} δ_{k m} - δ_{i m} δ_{j l} δ_{k n} - δ_{i l} δ_{j n} δ_{k m} - δ_{i n} δ_{j m} δ_{k l}

Übung: Zeige dass gilt

ε_{i j k} ε_{i m n} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}

ε_{i j k} ε_{i j n} = 2 δ_{k n}

ε_{i j k} ε_{i j k} = 6

(wiederum mit Summenkonvention). Sie ist nützlich bei der Vektorrechnung im $ℝ^{3}$ .

Die Determinante einer $n \times n$ -Matrix $A = (A_{i j})$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

\det A = ε_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} A_{1 i_{1}} A_{2 i_{2}} \dots A_{n i_{n}} .

Die Determinante dieser Matrix

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Übung:

Formuliere das Kreuzprodukt 3-komponentiger Vektoren a und b mit dem Epsilon-Tensor

und dann mit der Determinante

Formuliere das Spatprodukt 3-komponentiger Vektoren a und b mit dem Epsilon-Tensor und dann mit der Determinante