Kurs:Vektor-Algebra/Multiplikation/Skalarprodukt

Arbeitsbegriff

Für eine ortsunabhängige Kraft $\overrightarrow{F}$, die entlang eines geraden Weges $\overrightarrow{s}$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=F\cdot s\cdot \cos \alpha ,$

wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W=F\cdot s.$

Projektion

Eine Projektion eines Vektors x auf die Richtung eines anderen Vektors n. Diese Projektion meint das man die Anfangspunkte von a und n aneinanderheften soll. Das Lot von a auf n ergibt einen Schnittpunkt.

Die Projektion von a auf n ist ein Vektor mit den gemeinsamen Anfangspunkt von a,n und den Schnittpunkt als Endpunkt. Die Projektion gibt sozusagen den Anteil von n am Vektor a wieder.

Übung: Zerlege die Kraft $\overrightarrow{F}$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu $\overrightarrow{s}$.

Der Ausdruck sollte sein

${\overrightarrow{F}}_{\Vert }=\frac{1}{F^2}(\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s})\overrightarrow{F}$

Kosinussatz

Kosinussatz

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

$c^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2=a^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+b^2$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\alpha$

Projektion, Norm

Satz von Schwarz

Cauchy-Schwarzscher Satz

$\Vert \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\Vert \le a\cdot b$

$0\leqq (\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b})$

$a^2+{\alpha }^2{b}^2+\alpha \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{a}\cdot b$

$a^2+{\alpha }^2{b}^2+2\alpha \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

$\alpha \in ℝ$

$\alpha =-\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{b^2}\in ℝ$

$0\le a^2{b}^2-(\overrightarrow{a}\cdot b{)}^2$

Satz von Thales

Übung: Zeige den Satz von Thales. Hinweis: Identifiziere dabei die Terme in $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$ mit den geometrischen Größen im Satz.

Dreickes-Ungleichung

Dreieckes-Ungleichung

$\Vert a-b\Vert \le \Vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Vert \le a+b$

$a^2+b^2-2ab\le a^2+b^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\le a^2+b^2+2ab$

$(a-b{)}^2\le (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2\le (a+b{)}^2$ normieren

$\Vert -ab\le \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\Vert \le a\cdot b$

$\Vert a-b\Vert \le \Vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Vert \le a+b$