Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle

Einführung

Für $p$-Normen in $p$-Regularitätsbeweisen bzw. $p$-Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute $p$-konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute) $p$-konvexen Hülle (siehe Köthe 1966).

Definition: p-konvex

Sei $M$ eine Teilmenge eines Vektorraums $V$ und $0<p\le 1$, dann heißt $M$ $p$-konvex, wenn gilt

${\mathrm{\forall }}_{x,y\in M;\lambda ,\mu \ge 0}:{\lambda }^p+{\mu }^p=1⟹\lambda x+\mu y\in M$

Definition: absolut p-konvex

Sei $M$ eine Teilmenge eines Vektorraums $V$ und $0<p\le 1$, dann heißt $M$ absolut $p$-konvex, wenn gilt

${\mathrm{\forall }}_{x,y\in M}:|\lambda {|}^p+|\mu {|}^p\le 1⟹\lambda x+\mu y\in M$

Definition: p-konvexe Hülle

Die $p$-konvexe Hülle der Menge $M$ (Bezeichnung: ${𝒞}_p(M)$) ist der Schnitt über alle $p$-konvexen Mengen, die $M$ enthalten.

${𝒞}_p(M):=\bigcap _{\stackrel{\tilde{M}\supseteq M}{\tilde{M}p-konvex}}\tilde{M}$

Definition: absolut p-konvexe Hülle

Die absolut $p$-konvexe Hülle der Menge $M$ (Bezeichnung: ${\mathrm{\Gamma }}_p(M)$) ist der Schnitt über alle absolut $p$-konvexen Mengen, die $M$ enthalten.

${\mathrm{\Gamma }}_p(M):=\bigcap _{\stackrel{\tilde{M}\supseteq M}{\tilde{M}absolutp-konvex}}\tilde{M}$

Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle

Sei $M$ eine Teilmenge eines Vektorraums $V$ über dem Körper $𝕂$ und $0<p\le 1$, dann lässt sich die absolut $p$-konvexe Hülle von $M$ wie folgt schreiben:

$${\mathrm{\Gamma }}_p(M)=\{\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j:n\in \mathbb{N}\wedge x_j\in M\wedge \sum _{j=1}^n|{\alpha }_j{|}^p\le 1\}=:\hat{M}$$

Beweis

Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) ${\mathrm{\Gamma }}_p(M)\subseteq \hat{M}$ liefert und (3) die Teilmengenbeziehung $\hat{M}\subseteq {\mathrm{\Gamma }}_p(M)$.

• (Beweisteil 1) $M\subset \hat{M}$,
• (Beweisteil 2) $\hat{M}$ ist absolut $p$-konvex und
• (Beweisteil 3) $\hat{M}$ ist in jeder absolut $p$-konvexen Menge $\tilde{M}\supset M$ enthalten.

Beweisteil 1

$M\subset \hat{M}$, denn $M=\{{\alpha }_{x}x:{\alpha }_x=1\wedge x\in M\}\subset \hat{M}$

Beweisteil 2

Seien nun $x,y\in \hat{M}$ und $|\alpha {|}^p+|\beta {|}^p\le 1$ gegeben. Man muss zeigen, dass $\alpha x+\beta y\in \hat{M}$ liegt.

Beweisteil 2.1 - Absolut p-konvex

Mit $x,y\in \hat{M}$ sollen nun $x,y\in \hat{M}$ die folgende Darstellungen haben:

• $x=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}_i$ mit $\sum _{i=1}^m|{\alpha }_i{|}^p\le 1$
• $y=\sum _{i=1}^n{\beta }_i{y}_i$ mit $\sum _{i=1}^n|{\beta }_i{|}^p\le 1$

Man zeigt nun das $\hat{M}$ absolut $p$-konvex ist-

Beweisteil 2.2 - Absolut p-konvex

$\hat{M}$ ist absolut $p$-konvex, denn es gilt mit $|\alpha {|}^p+|\beta {|}^p\le 1$:

$\begin{array}{ccc}\sum _{i=1}^m|\alpha {\alpha }_i{|}^p+\sum _{j=1}^n|\beta {\beta }_j{|}^p& =& |\alpha {|}^p\underset{\le 1}{\underbrace{\sum _{i=1}^m|{\alpha }_i{|}^p}}+|\beta {|}^p\underset{\le 1}{\underbrace{\sum _{j=1}^n|{\beta }_j{|}^p}}\\ & \le & |\alpha {|}^p+|\beta {|}^p\le 1.\end{array}$

Damit erhält man:

$$\alpha \cdot x+\beta \cdot y=\alpha \sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}_i+\beta \sum _{j=1}^n{\beta }_j{y}_j\in \hat{M}.$$

Beweisteil 2.3 - Nullvektor

$0_V\in \hat{M}$, denn es gilt $0_V=\alpha \cdot x$ mit $\alpha =0=|\alpha {|}^p\le 1$ und ein beliebiges $x\in M$ erhält $0_V=\alpha \cdot x\in \hat{M}$.

Beweisteil 3

Wir zeigen nun, dass die absolut $p$-konvexe Hülle in jeder absolut $p$-konvexen Obermenge $\tilde{M}$ von $M$ enthalten ist.

Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden

Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden $n$ gezeigt werden, dass jedes Element der Form

$$\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j\text{ mit }{x}_j\in M\text{ und }\sum _{j=1}^n|{\alpha }_j{|}^p\le 1$$

in einer gegebenen absolut $p$-konvexen Menge $\tilde{M}\supset M$ enthalten ist.

Beweisteil 3.2 - Induktionsanfang

Für $n=2$ folgt die Behauptung über die Definition einer absolut $p$-konvexen Menge $\tilde{M}\supset M$.

Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung

Nun gelte die Voraussetzung für $n$, d.h.:

$$\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j\in \tilde{M}\text{ mit }{x}_j\in M\text{ und }\sum _{j=1}^n|{\alpha }_j{|}^p\le 1.$$

Beweisteil 3.4 - Induktionsschritt

Für $n+1$ ergibt sich die Behauptung wie folgt:

Sei $x:=\sum _{j=1}^{n+1}{\alpha }_j{x}_j$ und $\sum _{j=1}^{n+1}|{\alpha }_j{|}^p\le 1$ mit $x_j\in M$ für alle $j\in \{1,\dots ,n+1\}$. $x\in \tilde{M}$ ist nun zu beweisen.

Beweisteil 3.5 - Induktionsschritt

Ist ${\alpha }_{n+1}=1$, so ist nichts zu zeigen, da dann alle $|{\alpha }_j|=0$ sind für $j\in \{1,\dots ,n\}$ .

Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden

Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden ${\beta }_j\ge 0$

$${\beta }_j:=\frac{{\alpha }_j}{\sqrt[p]{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}}\text{ mit }\sum _{j=1}^n{\left|{\beta }_j\right|}^p\le 1$$

Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung

Sei also $|{\alpha }_{n+1}|<1$. Die Ungleichung

$$\sum _{j=1}^n\underset{=|{\beta }_j{|}^p}{\underbrace{{\left|\frac{{\alpha }_j}{\sqrt[p]{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}}\right|}^p}}=\frac{1}{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}\cdot \underset{\le 1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}{\underbrace{\sum _{j=1}^n|{\alpha }_j{|}^p}}\le 1$$

liefert nach Induktionsvoraussetzung $z:=\sum _{j=1}^n{\beta }_j\cdot x_j=\sum _{j=1}^n\frac{{\alpha }_j}{\sqrt[p]{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}}\cdot x_j\in \tilde{M}$.

Beweisteil 3.8 - Induktionsschritt

Da $\tilde{M}$ absolut $p$-konvex ist, folgt mit ${\left(\sqrt[p]{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}\right)}^p+|{\alpha }_{n+1}{|}^p=1$

$$\tilde{M}\ni \left(\sqrt[p]{1-|{\alpha }_{n+1}{|}^p}\right)z+{\alpha }_{n+1}{x}_{n+1}=\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j+{\alpha }_{n+1}{x}_{n+1}=\sum _{j=1}^{n+1}{\alpha }_j{x}_j.$$

Beweis 4

Aus den Beweisteilen $(1)$, $(2)$ und $(3)$ zusammen folgt die Behauptung. $◻$

Lemma: p-konvexe Hülle

Sei $M$ eine Teilmenge eines Vektorraums $V$ über dem Körper $𝕂$ und $0<p\le 1$, dann lässt sich die $p$-konvexe Hülle von $M$ wie folgt schreiben:

$${𝒞}_p(M)=\{\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j:n\in \mathbb{N}\wedge x_j\in M\wedge {\alpha }_j\in [0,1]\wedge \sum _{j=1}^n{\alpha }_j^p=1\}$$

Beweis: Aufgabe für Lernende

Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die $p$-konvexe Hülle.

Siehe auch

• Minkowski-Funktional
• P-Regularität
• PC-Regularität
• Konvexkombination
• Lemma - Subadditivität p-Konvexität

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