Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul

Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume

Ist $\varrho (𝒯)=2^{\frac{1}{p_o}}$ der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum $(V,𝒯)$, so gibt es zu jedem $p<p_o$ eine topologieerzeugende $p$-Norm auf $V$.

Bemerkung

Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung $U$ mit $K>0$ "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus $U$ wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung $K\cdot U$ liegen.

Beweis

Zunächst betrachtet man eine grundlegende Abschätzung für den Konkavitätsmodul einer Nullumgebung.

• Wegen $2\cdot U\subset U+U\subset K\cdot U$ für alle Nullumgebungen $U$ gilt $2\le \varrho (U)<\mathrm{\infty }$.
• durch Bildung des Infimums bleibt die Abschätzung auch für das Konkavitätsmodul der Topologie $𝒯$ erhalten mit $2\le \varrho (𝒯)<\mathrm{\infty }$.

Beweisschritt 1 - Obere untere Schranke für p

Mit der algebraischen Darstellung $\varrho (𝒯)=2^{\frac{1}{p_o}}$ gibt es damit die folgenden oberen und unteren Schranken für $p_o$ mit $0<p_o\le 1$ .

Beweisschritt 2 - Anwendung Korrespondenzsatz für p-Normen

Nach dem Korrespondenzsatz für p-Normen genügt es zu zeigen, dass $V$ eine absolut $p$-konvexe Nullumgebung besitzt, die als absorbiernde Menge des Minkowski-Funktionals die p-Norm als p-Gaugefunktional erzeugt.

Bemerkung 3 - p-konvex bzw. absolut p-konvex

Eigentlich wäre es bereits ausreichend zu zeigen, dass es eine $p$-konvexe Nullumgebung gibt, da in einem toplogischen Vektorraum jede $p$-konvexe Nullumgebung eine kreisförmige Nullumgebung enthält. Wenn man eine kreisförmige Nullumgebung mit einer $p$-konvexe Nullumgebung schneidet erhält man eine Nullumgebung, die absolut $p$-konvex ist.

Beweisschritt 4 - Anwendung Satz über Quasinormierbarkeit

Sei $0<p\le 1$ mit $2^{\frac{1}{p}}>\varrho (𝒯)$. Nach Voraussetzung gibt es eine beschränkte, ohne Einschränkung, kreisförmige Nullumgebung $U$ mit

$$U+U\subset 2^{\frac{1}{p}}\cdot U$$

bzw.

$$2^{-\frac{1}{p}}\cdot (U+U)=2^{-\frac{1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{1}{p}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 5 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

Durch fortgesetzte Anwendung der obigen Mengeninklusion

$$2^{-\frac{1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{1}{p}}\cdot (\underset{\subseteq U}{\underbrace{2^{-\frac{1}{p}}\cdot (U+U)}})\subset 2^{-\frac{1}{p}}\cdot (U+U)\subset U$$

erhält man über die Potenzgesetze und $2^{-1}+2^{-2}+2^{-2}=1$

$$2^{-\frac{1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{2}{p}}\cdot U+2^{-\frac{2}{p}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 6 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

Jede weitere Anwendung der Mengeninklusion verändert jeweils bei zwei Koeffizienten im Term den Faktor $2^{-\frac{k}{p}}$ zu $2^{-\frac{k+1}{p}}$.

Beweisschritt 7 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

In allgemeinere Form erhält man durch fortgesetzte Anwendung des Mengeninklusion die Teilmengenbeziehung:

$$\sum _{i=1}^n{2}^{-\frac{k_i}{p}}\cdot U\subset U\text{ mit }\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}=1;1\le k_i\in \mathbb{N}(\ast )$$

Beweisschritt 8 - Zerlegung der Eins

Die Zerlegung der Eins bleibt bei jeder Anwendung erhalten und mit $\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}=1$ gilt ferner:

$$\sum _{i=1}^n{2}^{-\frac{k_i}{p}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 9 - Ordnung der Zerlegung der Eins

Als Ordnung $k$ einer Zerlegung der $1$ bezeichnet man das Maximum der auftretenden $k_i\in {\mathbb{N}}_0$ mit $i\in \{1,\dots ,n\}$. ("Je größer das $k$ ist, um so feiner ist die Zerlegung der $1$.")

Beweisschritt 10 - Zusammenhang zwischen Zerlegungen der Eins

Da $k_i\in \mathbb{N}$ ist, erhält man jede Zerlegung der Ordnung $k+1$ aus einer Zerlegung der Ordnung $k$, indem man die betreffenden Summanden $2^{-k_i}$ durch $2^{-(k_i+1)}+2^{-(k_i+1)}$ ersetzt, denn aus $\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}=1$ folgt, dass die Summanden der Ordnung $k$ für $n>0$ in gerader Anzahl auftreten.

Beweisschritt 11 - Vollständig Induktion

Nun soll die Behauptung $(\ast )$ mit vollständiger Induktion über die Ordnung $k$ gezeigt werden.

Beweisschritt 11.1 - Induktionsfang

Für $k=1$ gilt die Behauptung mit

$2^{-\frac{1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{1}{p}}\cdot U\subset U$

Beweisschritt 11.2 - Induktionsvoraussetzung

Für die Ordnung $k$ gelte die Mengeninklusion als Induktionsvoraussetzung:

$$\sum _{i=1}^n{2}^{-\frac{k_i}{p}}\cdot U\subset U\text{ mit }\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}=1;1\le k_i\in \mathbb{N}$$

Beweisschritt 11.3 - Induktionsschritt

Um aus der Zerlegung der Eins mit Ordnung $k$ eine Zerlegung der Ordnung $k+1$ zu machen, wird in der Mengeninklusion ein Summand $2^{-\frac{k}{p}}\cdot U$ durch eine Teilmenge aus zwei Summanden $2^{-\frac{k+1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{k+1}{p}}\cdot U$ ersetzt. Dadurch entsteht eine Zerlegung höherer Ordnung.

Beweisschritt 11.4 - Induktionsschritt

Dies ist mit $2^{-\frac{1}{p}}\cdot U+2^{-\frac{1}{p}}\cdot U\subset U$ möglich.

Bemerkung 11.5 - Zusammenhang Minkowski-Funktional

Wenn man ${\mathrm{\Gamma }}_p(U)\subset 2^{\frac{1}{p}}\cdot U$ zeigen kann, erzeugt das Minkowskifunktional der absolut $p$-konvexe Menge ${\mathrm{\Gamma }}_p(U)$ die gleiche Topologie wie das Minkowskifunktional der Menge $U$, denn es gilt $U\subseteq {\mathrm{\Gamma }}_p(U)\subseteq 2^{\frac{1}{p}}\cdot U$.

Beweisschritt 11.6 - Induktionsschritt

Also ist ${\mathrm{\Gamma }}_p(U)\subset 2^{\frac{1}{p}}\cdot U$ für den Induktionsschritt noch zu zeigen:

Beweisschritt 11.7 - Induktionsschritt

Zu einer beliebigen Wahl von Skalaren ${\alpha }_i$ mit ${\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i{|}^p\le 1$ wählt man die $k_i\in {\mathbb{N}}_0$ derart, dass $2^{-k_i}\le |{\alpha }_i{|}^p<2^{-k_i+1}$ erfüllt ist.

Beweisschritt 11.8 - Induktionsschritt

Durch diese Einschachtelung der $|{\alpha }_i{|}^p$ erhält man:

$\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}\le \sum _{i=1}^n|{\alpha }_i|<2\cdot \underset{=1}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{2}^{-k_i}}}=2$

Beweisschritt 11.8 - Induktionsschritt

Damit gilt erhält man mit der Kreisförmigkeit von $U$:

$\begin{array}{ccc}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i& =& \sum _{i=1}^n|{\alpha }_i|\underset{\in U}{\underbrace{(\frac{{\alpha }_i}{|{\alpha }_i|}\cdot x)}}\\ & \in & \sum _{i=1}^n|{\alpha }_i|\cdot U\\ & \subseteq & \sum _{i=1}^n{2}^{\frac{-k_i+1}{p}}\cdot U=2^{\frac{1}{p}}\cdot \underset{\subseteq U}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{2}^{-\frac{k_i}{p}}U}}\subseteq 2^{\frac{1}{p}}\cdot U\end{array}$

Beweisschritt 12

Damit besitzt $V$ eine absolut $p$-konvexe Nullumgebung, dessen Minkowski-Funktional $p$-homogen ist. $◻$

Bemerkung

$V$ braucht nicht $p_o$-normierbar zu sein, falls das Infimum nicht angenommen wird. Zusammen mit den Korrespondenzsatz für $p$-Normen, der die Topologisierung eines lokalbeschränkten Raumen, sowohl durch eine $p$-Norm als auch durch eine Quasihalbnorm der Stetigkeitskonstant $K=2^{\frac{1}{p}}$ ermöglicht.

Siehe auch

• Korrespondenzsatz p-Halbnormen
• Satz über p-Normierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• Satz über Quasinormierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• P-Regularität

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