Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiele lokalkonvexer Raum

Einleitung

In dieser Lerneinheit werden Beispiele für lokalkonvexe Räume behandelt. Der Inhalt kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Folgenräume
• (2) Raum der stetigen Funktionen

Zielsetzung

Diese Lernressource liefert Beispiele für lokalkonvexe Vektorräume, die nicht durch eine einzige Norm erzeugt werden können. Damit motivieren die Beispiele die Mengeninklusion, dass die Menge der normierten Vektorräume eine echte Teilmenge der lokalkonvexen Vektorräume ist.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen

Sei $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ)$ ein Körper, dann bezeichnet ${𝕂}^{\mathbb{N}}:=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}|a_n\in 𝕂\text{ für alle }n\in \mathbb{N}\}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in $𝕂$.

Endliche Folgen

$c_{oo}(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{n_0\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_0}:a_n=0\}$ ist die Menge der Folgen in $𝕂$, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.

Nullfolgen

$c_o(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0\}$ ist die Menge der Nullfolgen in dem Körper $𝕂$

Konvergente Folgen

$c(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{a_0\in 𝕂}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a_0\}$, die Menge der konvergenten Folgen in $𝕂$.

Absolut konvergente Reihen

${\ell }_1(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|<\mathrm{\infty }\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, die absolute konvergent sind. ${\ell }_1(𝕂)$ ist ein normierter Norm mit $\Vert a\Vert :=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$).

Absolut p-konvergente Reihen

${\ell }_p(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, die absolut-p-summierbar sind. Für $1\le p<\mathrm{\infty }$ ist, der Raum normierbar. Für $0<p<1$ ist der Raum noch metrisierbar mit $d_p((a_n{)}_n,(b_n{)}_n):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n-b_n{|}^p$,

Aufgabe - p-Halbnormeigenschaften

Zeigen Sie, $d_p((a_n{)}_n,(b_n{)}_n):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n-b_n{|}^p$ für alle $(a_n{)}_n,(b_n{)}_{n}in{\ell }_p(𝕂)$ einen endlichen Wert liefert und $d:{\ell }_p(𝕂)\times {\ell }_p(𝕂)\to ℝ$ die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

Beschränkte Folgen

${\ell }_{\mathrm{\infty }}(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{C>0}:\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|a_n|<C\}$, die Menge der beschränkten Folgen in $𝕂$ als normierbarer Raum.

Aufgabe 1 - Mengeninklusion

Geben Sie den Körper $𝕂=ℝ,ℂ)$ eine Mengeninklusion ${𝕂}^{\mathbb{N}}\supset \dots \supset \dots$ für die obigen Folgenräume an.

Aufgabe 2 - Normierter Raum

Zeigen Sie, dass die auf ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{C>0}:\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|a_n|\le C\}$ definierte Abbildung

$\Vert (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }|a_n|$

die Vektorräume $c_{oo}(𝕂)$, $c_o(𝕂)$, $c(𝕂)$, ${\ell }_1(𝕂)$, ${\ell }_p(𝕂)$ und ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(𝕂)$ zu einem normierten Raum macht.

Bemerkung - Nachweis der Eigenschaft

Weisen Sie diese Normeigenschaften nur für ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(𝕂)$ und argumentieren Sie mit der Mengeninklusion aus Aufgabe 1.

Aufgabe - Vollständigkeit

Welche der oben genannten normierten Räume ist vollständig?

Lokalkonvexer Folgenraum

Betrachtet man nun ${𝕂}^{\mathbb{N}}:=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}|a_n\in 𝕂\text{ für alle }n\in \mathbb{N}\}$ als Menge der beliebigen Folgen mit Folgengliedern in $𝕂$, so macht das folgenden Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}}$ mit $k\in \mathbb{N}$

$\begin{array}{cccc}\Vert \cdot {\Vert }_k:& {𝕂}^{\mathbb{N}}& \to & {ℝ}_o^{+}\\ & {\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}& \mapsto & \Vert {\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_k=|a_k|\end{array}$

den Vektorraum ${𝕂}^{\mathbb{N}}$ zu einem lokalkonvexen Raum $({𝕂}^{\mathbb{N}},\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$.

Hausdorff-Eigenschaft

Weisen Sie nach, dass der lokalkonvexe Raum $({𝕂}^{\mathbb{N}},\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ die Hausdorff-Eigenschaft besitzt.

Lokalkonvexe Topologie nicht normierbar

Nehmen Sie an, dass der lokalkonvexe Raum $({𝕂}^{\mathbb{N}},\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ durch eine Norm $\Vert \cdot \Vert$ topologisiert werden kann. Führen Sie diese Annahme zum Widerspruch.

Supremumsnorm

Die in Aufgabenteil 2 angegebene kann auf dem lokalkonvexen Vektorraum $({𝕂}^{\mathbb{N}},\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ nicht als Norm verwendet werden, da ${𝕂}^{\mathbb{N}}$ als Raum beliebiger Folgen in $𝕂$ auch unbeschränkte Folgen enthält, z.B. $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:=(n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Eine Norm muss aber für alle Vektoren/Folgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}$ einen endlichen Wert $\Vert (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\Vert <\mathrm{\infty }$ liefern.

Raum der stetigen Funktionen

Das abgeschlossene Intervall $[a,b]\subset ℝ$ sei der Definitionsbereich des Raumes $𝒞([a,b],ℝ)$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $ℝ$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Raum der reellwertigen stetigen Funktionen

Verändert man den Definitionsbereich $[a,b]$ zu $ℝ$ und betrachtet den Vektorraum $𝒞(ℝ,ℝ)$ der stetigen Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$, so erzeugen die Halbnormen

$\Vert f{\Vert }_n:=\underset{-n}{\overset{+n}{\int }}|f(x)|dx$

ein lokalkonvexe Topologie auf $(𝒞(ℝ,ℝ),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$.

Integralnorm

Eine Integralnorm als uneigentliches Integral der Form

$\Vert f\Vert :=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$

kann keine Norm auf dem Vektorraum sein, da es z.B. für $f(x)=x^2$ mit $f\in (𝒞(ℝ,ℝ)$ keinen endlichen Wert liefert (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Aufgabe - Topologie

Weisen Sie für die durch $(\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}}$ auf $𝒞(ℝ,ℝ)$ definierte lokalkonvexe Topologie nicht durch eine einzige Norm erzeugt werden kann.

Siehe auch

• Beispiel für Vektorräume
• Beispiel für pseudekonvexe Räume
• Wiki2Reveal

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