Kurs:Theoretische Mechanik/Lösungen

Theoretische Physik 1 - Mechanik (Lösung zu den Übungsaufgaben)

Hinweis: Natürlich alles ohne Gewähr. Wenn jemand Fehler findet, bitte melden! Bessere Lösungswege einfach als 2.Möglichkeit hinzufügen.

Mathematische Grundlagen

Tensoren

Levi-Civita als Determinante

$ε_{i j k} = {\vec{e}}_{i} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k}) = \sum_{a = 1}^{3} e_{i, a} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k})_{a} = \sum_{a = 1}^{3} \sum_{b, c = 1}^{3} ε_{a b c} e_{i, a} e_{j, b} e_{k, c} =$

$= e_{i, 1} (e_{j, 2} e_{k, 3} - e_{j, 3} e_{k, 2}) - e_{i, 2} (e_{j, 3} e_{k, 1} - e_{j, 1} e_{k, 3}) + e_{i, 3} (e_{j, 1} e_{k, 2} - e_{j, 2} e_{k, 1}) =$

$= e_{i, 1} | \begin{matrix} e_{j, 2} & e_{j, 3} \\ e_{k, 2} & e_{k, 3} \end{matrix} | + e_{i, 2} | \begin{matrix} e_{j, 1} & e_{j, 3} \\ e_{k, 1} & e_{k, 3} \end{matrix} | + e_{i, 3} | \begin{matrix} e_{j, 1} & e_{j, 2} \\ e_{k, 1} & e_{k, 2} \end{matrix} | = | \begin{matrix} e_{i, 1} & e_{i, 2} & e_{i, 3} \\ e_{j, 1} & e_{j, 2} & e_{j, 3} \\ e_{k, 1} & e_{k, 2} & e_{k, 3} \end{matrix} |$

Identität XYZ

1. Möglichkeit

$ε_{i j k} ε_{i l m} = | \begin{matrix} e_{i, 1} & e_{i, 2} & e_{i, 3} \\ e_{j, 1} & e_{j, 2} & e_{j, 3} \\ e_{k, 1} & e_{k, 2} & e_{k, 3} \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} e_{i, 1} & e_{i, 2} & e_{i, 3} \\ e_{l, 1} & e_{l, 2} & e_{l, 3} \\ e_{m, 1} & e_{m, 2} & e_{m, 3} \end{matrix} | =$

$= | \begin{matrix} e_{i, 1} e_{i, 1} + e_{i, 2} e_{j, 1} + e_{i, 3} e_{k, 1} & e_{i, 1} e_{i, 2} + e_{i, 2} e_{j, 2} + e_{i, 3} e_{k, 2} & e_{i, 1} e_{i, 3} + e_{i, 2} e_{j, 3} + e_{i, 3} e_{k, 3} \\ e_{l, 1} e_{i, 1} + e_{l, 2} e_{j, 1} + e_{l, 3} e_{k, 1} & e_{l, 1} e_{i, 2} + e_{l, 2} e_{j, 2} + e_{l, 3} e_{k, 2} & e_{l, 1} e_{i, 3} + e_{l, 2} e_{j, 3} + e_{l, 3} e_{k, 3} \\ e_{m, 1} e_{i, 1} + e_{m, 2} e_{j, 1} + e_{m, 3} e_{k, 1} & e_{m, 1} e_{i, 2} + e_{m, 2} e_{j, 2} + e_{m, 3} e_{k, 2} & e_{m, 1} e_{i, 3} + e_{m, 2} e_{j, 3} + e_{m, 3} e_{k, 3} \end{matrix} |$

Für ein rechtsdrehendes, orthonormales Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren , folgt: Mit: ${\vec{e}}_{i} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), {\vec{e}}_{j} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), {\vec{e}}_{k} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$= | \begin{matrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ e_{l, 1} \cdot 1 + e_{l, 2} \cdot 0 + e_{l, 3} \cdot 0 & e_{l, 1} \cdot 0 + e_{l, 2} \cdot 1 + e_{l, 3} \cdot 0 & e_{l, 1} \cdot 0 + e_{l, 2} \cdot 0 + e_{l, 3} \cdot 1 \\ e_{m, 1} \cdot 1 + e_{m, 2} \cdot 0 + e_{m, 3} \cdot 0 & e_{m, 1} \cdot 0 + e_{m, 2} \cdot 1 + e_{m, 3} \cdot 0 & e_{m, 1} \cdot 0 + e_{m, 2} \cdot 0 + e_{m, 3} \cdot 1 \end{matrix} |$

$= | \begin{matrix} e_{i, 1} e_{i, 1} & e_{i, 2} e_{j, 2} & e_{i, 3} e_{k, 3} \\ e_{l, 1} e_{i, 1} & e_{l, 2} e_{j, 2} & e_{l, 3} e_{k, 3} \\ e_{m, 1} e_{i, 1} & e_{m, 2} e_{j, 2} & e_{m, 3} e_{k, 3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ e_{l, 1} e_{i, 2} & e_{l, 2} e_{j, 2} & e_{l, 3} e_{k, 3} \\ e_{m, 1} e_{i, 1} & e_{m, 2} e_{j, 2} & e_{m, 3} e_{k, 3} \end{matrix} |$

Wir haben $ε_{i j k} = {\vec{e}}_{i} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k})$ und $ε_{i l m} = {\vec{e}}_{i} ({\vec{e}}_{l} \times {\vec{e}}_{m})$ . Wenn ${\vec{e}}_{i}, {\vec{e}}_{l}, {\vec{e}}_{m}$ ein rechtsdrehendes Koordinatensystem bilden, folgt:

${\vec{e}}_{i} ⊥ {\vec{e}}_{l} = > e_{l, 1} e_{i, 2} = 0$

${\vec{e}}_{i} ⊥ {\vec{e}}_{m} = > e_{m, 1} e_{i, 1} = 0$

$| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e_{l, 2} e_{j, 2} & e_{l, 3} e_{k, 3} \\ 0 & e_{m, 2} e_{j, 2} & e_{m, 3} e_{k, 3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & δ_{j l} & δ_{k l} \\ 0 & δ_{j m} & δ_{k m} \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} δ_{j l} & δ_{k l} \\ δ_{j m} & δ_{k m} \end{matrix} | = δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}$

2. Möglichkeit

Für j=k oder l=m verschwindet das Kreuzprodukt. Für j≠k und l≠m gilt: Das doppelte Kreuzprodukt verschwindet, wenn nicht j=l oder k=m

Spatprodukt

Aufgabenstellung: Zeige: $\vec{c} (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{c} \times \vec{a})$

Lösung:

$\vec{c} (\vec{a} \times \vec{b}) = ε_{i j k} c_{i} a_{j} b_{k} = ε$

da $ε_{i j k} = ε_{j k i} = ε_{k i j}$ folgt:

$ε_{i j k} c_{i} a_{j} b_{k} = ε_{j k i} c_{i} a_{j} b_{k}$ bzw. $ε_{i j k} c_{i} a_{j} b_{k} = ε_{k i j} c_{i} a_{j} b_{k}$

Durch Vertauschen der Indizes folgt:

$ε_{j k i} c_{i} a_{j} b_{k} = ε_{i j k} c_{k} a_{i} b_{j} = c_{k} a_{i} b_{j} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k}) {\vec{e}}_{i} = \vec{a} (\vec{b} \times \vec{c})$

bzw.

$ε_{k i j} c_{i} a_{j} b_{k} = ε_{i j k} c_{j} a_{k} b_{i} = c_{j} a_{k} b_{i} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k}) {\vec{e}}_{i} = \vec{b} (\vec{c} \times \vec{a})$

Graßmann-Identität

$[\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})]_{k} = \sum_{i, j} ε_{i j k} a_{i} (\vec{b} \times \vec{c})_{j} = \sum_{i, j} \sum_{l, m} ε_{i j k} ε_{j l m} a_{i} b_{l} c_{m}$

Da wir unsere Freunde so nennen dürfen wie wir wollen, vertauschen wir die Indizes i und j damit der nächste Schritt "offensichtlich" ist:

$\sum_{j, i} \sum_{l, m} ε_{j i k} ε_{i l m} a_{j} b_{l} c_{m}$

Wir benutzen die in Übungsaufgabe 1 bewiesene Identität $\sum_{i} ε_{i j k} ε_{i l m} = δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}$ , dazu verwenden wir $ε_{j i k} = - ε_{i j k}$ aus der Definition des Levi-Civita-Symbols:

$\sum_{j, i} \sum_{l, m} ε_{j i k} ε_{i l m} a_{j} b_{l} c_{m} = - \sum_{j, i} \sum_{l, m} ε_{i j k} ε_{i l m} a_{j} b_{l} c_{m} = - \sum_{j} \sum_{l, m} a_{j} b_{l} c_{m} (δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l})$

Und ziehen das Minus vor den Summen zu den Deltas in die Klammer und lösen die Kronecker-Deltas zu Einheitsvektoren auf:

$\sum_{j} \sum_{l, m} a_{j} b_{l} c_{m} (δ_{j m} δ_{k l} - δ_{j l} δ_{k m}) = \sum_{j} \sum_{l, m} a_{j} b_{l} c_{m} (({\vec{e}}_{j}, {\vec{e}}_{m}) ({\vec{e}}_{k}, {\vec{e}}_{l}) - ({\vec{e}}_{j}, {\vec{e}}_{l}) ({\vec{e}}_{k}, {\vec{e}}_{m}))$

Dann lösen wir die Summe auf:

$((\vec{a}, \vec{c}) ({\vec{e}}_{k}, \vec{b}) - (\vec{a}, \vec{b}) ({\vec{e}}_{k}, \vec{c})) = [\vec{b} (\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a}, \vec{b})]_{k}$

Lagrange-Identität

Da gilt, dass

(AxB) C = A (BxC)

ist

(AxB),(CxD)= AB(CxD) = A(B x (CxD))

Bereits bewiesen wurde, dass

(B x (CxD)) = (BD)C-(BC)D

Somit erhält man:

A(B x (CxD)) = A ((BD)C-(BC)D)=(AC)(BD)-(AD)(BC)

q.e.d.

Differentialoperatoren

div rot A = 0

Hinweis:
Ich glaube ich habe möglicherweise im ersten Lösungsweg einen Denkfehler:
Wenn ich die Indizes i und j vertausche, müsste ich sie ggf. auch in der 
Ausgangsgleichung, mit der ich sie vergleiche, tauschen.

Zeige: $d i v r o t \vec{A} = 0$

1. Lösung:

$d i v r o t \vec{A} = \nabla (\nabla \times \vec{A}) = ε_{i j k} \nabla_{i} \nabla_{j} A_{k}$

Nach dem Satz von Schwarz kann man bei zweifach stetig differenzierbaren Funktionen die Differentialoperatoren vertauschen:

$ε_{i j k} \nabla_{i} \nabla_{j} A_{k} = ε_{i j k} \nabla_{j} \nabla_{i} A_{k}$

Mit einer ungeraden Permutation des Levi-Civita-Symbols $ε_{i j k} = - ε_{j i k}$ folgt:

$ε_{i j k} \nabla_{j} \nabla_{i} A_{k} = - ε_{j i k} \nabla_{j} \nabla_{i} A_{k}$

Da ich meine Indize so nennen kann wie ich will, vertausche ich alle i und j:

$- ε_{i j k} \nabla_{i} \nabla_{j} A_{k}$

Jetzt haben wir:

$ε_{i j k} \nabla_{i} \nabla_{j} A_{k} = - ε_{i j k} \nabla_{i} \nabla_{j} A_{k}$

Daraus folgt:

$d i v r o t \vec{A} = 0$

Alternative Lösung:

Mit der in Übungsaufgabe 1.2 gezeigten Identität:

$d i v r o t \vec{A} = \nabla_{1} (\nabla_{2} \times \vec{A}) = \vec{A} (\nabla_{1} \times \nabla_{2})$

Nach dem Satz von Schwarz folgt $(\nabla_{1} \times \nabla_{2}) = \vec{0}$ und dadurch:

$d i v r o t \vec{A} = 0$

rot grad B = 0

Zeige: $r o t g r a d B = 0$

Lösung:(in Arbeit - mit Sicherheit noch falsch ;-) )

$r o t g r a d B = \nabla \times (\nabla, B) = ε_{i j k} \nabla_{j} (\nabla, B)_{k} {\vec{e}}_{i} = ε_{i j k} \nabla_{j} \nabla_{k} B {\vec{e}}_{i}$

$= \nabla_{j} \nabla_{k} B {\vec{e}}_{i} ({\vec{e}}_{j} \times {\vec{e}}_{k}) {\vec{e}}_{i} = B (\nabla \times \nabla) δ_{i i} = B \cdot \vec{0} = 0$

div grad B = 0

Zeige: $d i v g r a d B = 0$

Lösung:

Bewegungen

Fallendes Seil

Elektron im E-Feld

Aufgabenstellung:
Ein Elektron (Elementarladung e, Masse m) bewege sich in einem homogenen, ged?ämpft oszillierenden
elektrischen Feld,  $\vec{E} (t) = {\vec{E}}_{0} e^{- α t} \cos (ω t)$  mit   $α > 0$ 

a.) Berechne die Bahnkurve  $\vec{r} (t)$  in Abhängigkeit der Anfangsbedingung  ${\vec{r}}_{0} \equiv \vec{r} (0)$  und  ${\vec{v}}_{0} \equiv \vec{v} (0)$ 

b.) Bestimme die Anfangsbedingungen  ${\vec{r}}_{0}$  und  ${\vec{v}}_{0}$ , für die  $| \vec{r} (t) |$  für alle  $t \geq 0$  beschränkt bleiben.

Lösung:

Die Bewegungsgleichung ist:

Definitionsgemäß ist die Kraft auf eine Ladung q im elektrischen Feld: $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$

also: $\vec{F} (t) = m \ddot{x} = \vec{E} (t) = - e {\vec{E}}_{0} e^{- α t} \cos (ω t)$ , wobei q = -e, da es sich um ein einzelnes Elektron handelt.

Es gilt: $\cos ω t = \frac{1}{2} (e^{i ω t} + e^{- i ω t})$

Durch Einsetzen ergibt sich:

$m \ddot{x} = - e {\vec{E}}_{0} e^{- α t} \frac{1}{2} (e^{i ω t} + e^{- i ω t}) < = > \ddot{x} = \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} e^{- α t} (e^{i ω t} + e^{- i ω t})$

$< = > \ddot{x} = \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} e^{- α t + i ω t} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} e^{- α t - i ω t}$

$x (t)$ ergibt sich durch zweifaches Integrieren von $\ddot{x} (t)$ :

$\dot{x} (t) = \int_{0}^{t} \ddot{x} (t^{'}) d t^{'} + v_{0}$

$\dot{x} (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} e^{- α t^{'} + i ω t^{'}} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} e^{- α t^{'} - i ω t^{'}} d t^{'}$

$\dot{x} (t) = v_{0} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} \int_{0}^{t} e^{- α t^{'} + i ω t^{'}} + e^{- α t^{'} - i ω t^{'}} d t^{'}$

$\dot{x} (t) = v_{0} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} [\frac{1}{- α + i ω} e^{- α t^{'} + i ω t^{'}}]_{0}^{t} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} [\frac{1}{- α - i ω} e^{- α t^{'} - i ω t^{'}}]_{0}^{t}$

$\dot{x} (t) = v_{0} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} (\frac{1}{- α + i ω} e^{- α t + i ω t} - \frac{1}{- α + i ω}) + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} (\frac{1}{- α - i ω} e^{- α t - i ω t} - \frac{1}{- α - i ω})$

$\dot{x} (t) = v_{0} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} \frac{1}{- α + i ω} e^{- α t + i ω t} - \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α + i ω)} + \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m} \frac{1}{- α - i ω} e^{- α t - i ω t} - \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α - i ω)}$

2. Schritt

$x (t) = \int_{0}^{t} \dot{x} (t^{'}) d t^{'} + x_{0}$

$x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v_{0} d t^{'} + \int_{0}^{t} \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t + i ω t}}{2 m (- α + i ω)} d t^{'} - \int_{0}^{t} \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α + i ω)} d t^{'}$

+ \int_{0}^{t} \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t - i ω t}}{2 m (- α - i ω)} d t^{'} - \int_{0}^{t} \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α - i ω)} d t^{'}

$x (t) = x_{0} + [v_{0} t^{'}]_{0}^{t} + [\frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t^{'} + i ω t^{'}}}{2 m (- α + i ω)^{2}}]_{0}^{t} - [\frac{- e {\vec{E}}_{0} t^{'}}{2 m (- α + i ω)}]_{0}^{t}$

+ [\frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t - i ω t}}{2 m (- α - i ω)^{2}}]_{0}^{t} - [\frac{- e {\vec{E}}_{0} t^{'}}{2 m (- α - i ω)}]_{0}^{t}

$x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t + i ω t}}{2 m (- α + i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α + i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α + i ω)}$

+ \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t - i ω t}}{2 m (- α - i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α - i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α - i ω)}

$x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t + i ω t}}{2 m (- α + i ω)^{2}} + \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t - i ω t}}{2 m (- α - i ω)^{2}}$

- \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α + i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0}}{2 m (- α - i ω)^{2}} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α - i ω)} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α + i ω)}

$x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t + i ω t}}{2 m (- α + i ω)^{2}} + \frac{- e {\vec{E}}_{0} e^{- α t - i ω t}}{2 m (- α - i ω)^{2}}$

+ \frac{e {\vec{E}}_{0} i α ω}{m (α^{2} - ω^{2})} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α - i ω)} - \frac{- e {\vec{E}}_{0} t}{2 m (- α + i ω)}

Kurs:Theoretische Mechanik/Lösungen

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Grundlagen

Tensoren

Levi-Civita als Determinante

Identität XYZ

Spatprodukt

Graßmann-Identität

Lagrange-Identität

Differentialoperatoren

div rot A = 0

rot grad B = 0

div grad B = 0

Bewegungen

Fallendes Seil

Elektron im E-Feld

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Kurs:Theoretische Mechanik/Lösungen

Mathematische Grundlagen

Tensoren

Levi-Civita als Determinante

Identität XYZ

Spatprodukt

Graßmann-Identität

Lagrange-Identität

Differentialoperatoren

div rot A = 0

rot grad B = 0

div grad B = 0

Bewegungen

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