Kurs:Stochastik/Linearität Erwartungswert

Lineariät

Sei $(Ω, 𝒮, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und die Zufallsgrößen $X_{1} : Ω ⟶ ℝ$ und $X_{2} : Ω ⟶ ℝ$ gegeben, dann ist der Erwartungswert linear:

Die Homogenität und Additivität erhält man wie folgt $X : Ω \to ℝ$ .

E (X) : = \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot X (ω)

Die Mengenklammern in $P ({ω})$ sind erforderlich, weil $P$ als Definitionsbereich $𝒮$ und nicht $Ω$ besitzt.

Sei $c \in ℝ$ beliebig gewählt und $X : Ω ⟶ ℝ$ ein Zufallsgröße:

E (c \cdot X) \overset{D e f}{=} \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot c \cdot X (ω) \overset{D G}{=} c \cdot \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot X (ω) \overset{D e f}{=} c \cdot E (X)

Seien $X_{1} : Ω ⟶ ℝ$ und $X_{2} : Ω ⟶ ℝ$ zwei Zufallsgrößen:

E (X_{1} + X_{2}) \overset{D e f}{=} \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot (X_{1} + X_{2}) (ω) = \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot (X_{1} (ω) + X_{2} (ω))

\overset{A G / K G}{=} \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot X_{1} (ω) + P ({ω}) \cdot X_{2} (ω))

\overset{D G}{=} \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot X_{1} (ω) + \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) \cdot X_{2} (ω) \overset{D e f}{=} E (X_{1}) + E (X_{2})

Beweisen Sie die Linearität des Ewartungswertes für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte $p : Ω \to ℝ_{o}^{+}$ !

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