Kurs:Stochastik/Binomialverteilung

Binomialverteilung

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$ Wahrscheinlichkeitsraum. Wir fixieren ein Ereignis $A\subset {\mathrm{\Omega }}_1$ und setzen $p=P(A)$ ("Erfolgswahrscheinlichkeit").

Mit $b(k;n,p)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger unabhängiger Wiederholung des Zufallsexperimentes $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$ genau k-mal das Ereignis $A$ auftritt. Behauptung:

$b(k;n,p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k};k=0,1,...,n$

Beweis

Auf dem Produktraum $(\mathrm{\Omega },P),\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1^n,P=P_1\times ...\times P_1,$ ($P$ besteht aus n Faktoren), definieren wie die Zufallsvariablen $X_1,...X_n$gemäß

$X_i((w_1,...,w_n))=\{\begin{array}{cc}1,& w_i\in A\\ 0,& sonst\end{array}$

("Ereignis tritt bei i-ter Wiederholung ein/nicht ein").

$X_i$ hat die sogenannte Binomialverteilung: $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$.

Die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$ sind unabhängig. Setze

$X=X_1+...+X_n,$

("Häufigkeit des Auftretens von A")

dann ist $P(X=k)=b(k;n,p)$.

Bemerkung

Zur Berechnung von $b(k;n,p)$:
Für jede der $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ Zerlegungen $\{1,...,n\}=\{i_1,...,i_k\}\cup \{j_1,...,j_{n-k}\}$ (disjunkt) gilt:

$P(X_{i_1}=1,...,X_{i_k}=1,X_{j_1}=0,...,X_{j_{n-k}}=0)$

$=P(X_{i_1}=1)\cdot ...\cdot P(X_{j_{n-k}}=0)=p^k(1-p{)}^{n-k}$

Also: $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

Binomnalverteilung (Definition)

Durch die Formel der Binomialverteilung auf $\{1,...,n\}$ definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$, kurz $B(n,p)$-Verteilung, $n\in \mathbb{N},0\le p\le 1$.

Die $B(1,p)$-Verteilung heißt auch Bernoulliverteilung, das oben beschriebene Produktexperiment heißt auch Bernoulliexperiment. Man sagt: Die (oben definierte) Zufallsvariable $X$ ist $B(n,p)$-verteilt.

Für unabhängige Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$ läßt sich die Verteilung der $P_X$ der Summe $X=X_1+...+X_n$ explizit auf den Randverteilungen berechnen.

Satz

Sind $X_1,...,X_n$ unabhängige Zufallsvariablen auf $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$, so gilt für die Verteilung $P_X$ von $X=X_1+...+X_n$:

$P_X(\{x\})=\sum _{(x_1,...,x_n)\in X_1(\mathrm{\Omega })\times ...\times X_n(\mathrm{\Omega })}{P}_{X_1}(\{x_1\})\cdot ...\cdot P_{X_n}(\{x_n\})$

für alle $x\in X(\mathrm{\Omega })$.

Beweis

Zerlegung von $\{X=x\}$ in paarweise disjunkte Mengen $A_{(X_1,...,X_n)}=⟨X_1=x_1,...,X_n=x_n⟩,X_1+...+X_n=X$. Im Fall $n=2$ lautet die Behauptung für $x\in (X_1+X_2)(\mathrm{\Omega })$

$P_{X_1+X_2}(\{x\})=\sum _{x_1\in X_1(\mathrm{\Omega })}{P}_{X_1}(\{x_1\})\cdot P_{X_2}(\{x-x_1\})$

Faltung (Definition)

Die im obigen Satz angegebene Verteilung von $X=X_1+...+X_n$ heißt Faltung der Verteilung $P_{X_1},...,P_{X_n}$.

Notation: $P_X=P_{X_1}\ast ...\ast P_{X_n}$

Beispiel

$B(n,p)$-Verteilung ist eine Faltung von $n$ $B(1,p)$-Verteilungen:

$B(n,p)=B(1,p)\ast ...\ast B(1,p)$

Seiten-Information

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• Binomialverteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
• Datum: 5.11.2018
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