Kurs:Stochastik/Approximation Binomialverteilung

Approximation der Binominalverteilung

Für große $n$ sind Wahrscheinlichkeiten, die nicht mit der $B(n,p)$-Verteilung verknüpft sind, größenordnungsmäßig schlecht zu erfassen und umständlich zu berechnen. In diesem Abschnitt soll die Binomialverteilung einerseits durch die Standardnormalverteilung approximiert werden und andererseits bei konvergentem $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot p_n=\lambda$ die Approximation durch die Poissonverteilung untersucht werden.

Hilfssatz

Es gilt:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x)dx=1$

mit der Standard-Normalenverteilung $\varphi$.

Beweis

$(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-t^2}{2}}dt{)}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-x^2}{2}}{e}^{\frac{-y^2}{2}}dxdy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-(x^2+y^2)}{2}}dxdy$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-r^2}{2}}rdrd\theta =2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-r^2}{2}}rdr=2\pi$

Ferner definieren wir die sogenannte Verteilungsfunktion $\mathrm{\Phi }$ der Standardnormalenverteilung:

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\varphi (t)dt,x\in ℝ$

Polarkoordinatentransformation

$x=r\cdot cos\theta ,y=r\cdot sin\theta ,y^2+x^2=r^2$

$|det\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -r\cdot sin\theta \\ sin\theta & r\cdot cos\theta \end{array}\right)|=r(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta )=r$

Satz (DeMoivre-Laplace)

Ist $X^{(n)}$ $B(n,p)$-verteilt, $0<p<1$, so gilt mit der Standardisierten $X_n^k=\frac{X^{(n)}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

$P(a\le X_n^{*}\le b){\to }^{n\to \mathrm{\infty }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a).$

Vorüberlegung

Sei $X^{(n)}$ $B(n,p)$-verteilt, $0<p<1$. Wegen $E{X}^{(n)}=np$ und $Var(X^{(n)})=np(1-p)$ läuft die Verteilung für wachsendes $n$ einerseits nach rechts, anderseits 'verläuft' sie auch in die Breite. Wir bilden deshalb die Standardisierte von $X^{(n)}$, d.h. $X_n=\frac{X^{(n)}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$.

Die Verteilung von $X_n$ liegt 'glockenförmig' um 0, allerdings in 'diskreter Form'. Um die ideale 'Glockenforn' analytisch zu beschreiben, führen wir die Funktion $\varphi (X)$ ein:

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2},x\in ℝ$

Beweis

Der Satz ist ein Spezialfall des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes (später).

Bemerkungen

1. Insbesondere gilt: $P(X_n^{*}\le b)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\mathrm{\Phi }(b),P(X_n^{*}\ge a)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }1-\mathrm{\Phi }(b)=\mathrm{\Phi }(-a)$

2. Zur approximativen Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $k\le X^{(n)}\le l$ geht man wie folgt vor:

Bilde $a=\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}},b=\frac{l-np}{\sqrt{np(1-p)}};(a\equiv a_n,b\equiv b_n)$, dann

$P(E_1)=P(k\le X^{(n)}\le l)=P(a\le X_n^{*}\le b)=P(E_2)\approx \mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$

mit $E_1,E_2$ gleiche Ereignisse, und wenn $n$ groß genug ist. (Faustregel: $np(1-p)\ge 10$)

3. Für kleine $n$ ist noch eine sogenannte Stetigkeitskorrektur nützlich:

$a=\frac{k-np-\frac{1}{2}}{\sqrt{np(1-p)}},b=\frac{l-np+\frac{1}{2}}{\sqrt{np(1-p)}}$

Beispiel

Ein Medikament heilt einen Patienten mit der Wahrscheinlichkeit $p=0,8$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n=1000$ Patienten (denen das Medikament verabreicht wird) mindestens $k=780$ Patienten geheilt werden?

Poissonscher Grenzwertsatz

Ist $p_n,n\le 1$, eine Folge $\in (0,1)$ mit

(*) $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}n{p}_n=\lambda >0,$

so gilt

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}b(k;n,p_n)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k\in \mathbb{Z}.$

Beispiel

$2\mathrm{\%}$ der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $100$ Personen (zufällig herausgegriffen) mindestens $3$ diese Krankheit haben?

a) $X$ binominalverteilt, $B(100,0,02)$-Verteilung

b) $X$ poissonverteilt, $P(2)$-Verteilung

Siehe auch

• Momente
• Kurs:Stochastik