Kurs:Statistik für Anwender/Hilfsmittel: Integrale

Hilfsmittel Integral

Zusammenhang Fläche unter Graph und Integral

Ist $f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty }[$ eine (stückweise stetige) Funktion, so kann die Fläche $F_{[a,b]}$ über einem Intervall $[a,b]$ unter dem Graphen von $f$ mit einem Integral berechnet werden: $$F_{[a,b]}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$$

Beispiel Fläche und Integral

Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

Normalerweise berechnet man Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Er besagt:
Falls $F:ℝ\to ℝ$ eine Stammfunktion von $f$ ist (d.h. $F^{\prime }(t)=f(t)$ für $t\in ℝ$), so gilt $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt={[F(t)]}_a^b=F(b)-F(a).$$

Beispiel Berechnung Integral I

Ist $f(t)=2$ (konstante Funktion), so ist $F(t)=2t$ eine Stammfunktion von $f$.

Also:

$\underset{3}{\overset{7}{\int }}2dt=8$

Anmerkung: Fläche hätte auch als Rechtecksfläche berechnet werden können.

Beispiel Berechnung Integral II

Ist $f(t)=4t+5$, so ist $F(t)=2t^2+5t$ eine Stammfunktion von $f$.

Also:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}(4t+5)dt=33$

Anmerkung: Fläche hätte auch als Summe von Rechtecks- und Dreiecksfläche berechnet werden können.

Beispiel Berechnung Integral III

Ist $f(t)=t^2-\frac{1}{2}t+1$, so ist $F(t)=\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{4}{t}^2+t$ eine Stammfunktion von $f$.
Also:

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(t^2-\frac{1}{2}t+1)dt=\frac{28}{3}$

Beispiel Berechnung Integral IV

Ist $f(t)=2\cdot \exp \left(\frac{t}{4}\right)$, so ist $F(t)=8\cdot \exp \left(\frac{t}{4}\right)$ eine Stammfunktion von $f$.

Also:

$\underset{-4}{\overset{12}{\int }}(2\cdot \exp \left(\frac{t}{4}\right))dt$

$={[8\cdot \exp \left(\frac{t}{4}\right)]}_{-4}^{12}$

$=8\cdot \exp \left(\frac{12}{4}\right)-8\cdot \exp \left(\frac{-4}{4}\right)$

$=8\cdot (\exp (3)-\exp (-1))=157.74$

Beispiel Berechnung Integral V

Regeln für Berechnung von Integralen

Bei der Berechnung von Integralen gelten die folgende Regeln:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(t)\pm g(t))dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)dt$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha \cdot f(t)dt=\alpha \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ (für $\alpha \in ℝ$)
• $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(t)dt$ (falls $a<b<c$ )

Beispiel Anwendung Regeln für Integrale I

Die letzte Regel ist vor allem dann wichtig, wenn Funktionen abschnittsweise definiert sind.

Für
$$f:ℝ\to ℝ,f(t)=\{\begin{array}{ccc}0& ,& \text{falls}t<0\\ t+3& ,& \text{falls}0\le t\le 4\\ 2+\frac{20}{t}& ,& \text{falls}t>4\end{array}$$
ist

$$\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f(t)dt=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}0dt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t+3)dt=[0{]}_{-2}^0+{[\frac{1}{2}{t}^2+3t]}_0^1$$
$$=0-0+(\frac{1}{2}{1}^2+3\cdot 1)-(\frac{1}{2}{0}^2+3\cdot 0)=\frac{7}{2}=3.5$$

Beispiel Anwendung Regeln für Integrale II

und

$$\underset{2}{\overset{7}{\int }}f(t)dt=\underset{2}{\overset{4}{\int }}(t+3)dt+\underset{4}{\overset{7}{\int }}(2+\frac{20}{t})dt$$

$$={[\frac{1}{2}{t}^2+3t]}_2^4+{[2t+20\ln (t)]}_4^7$$

$$=(\frac{1}{2}{4}^2+3\cdot 4)-(\frac{1}{2}{2}^2+3\cdot 2)$$

$$+(2\cdot 7+20\ln (7))-(2\cdot 4+20\ln (4))$$

$$=29.192$$

Beispiel Anwendung Regeln für Integrale III

Anmerkung zur Stammfunktion

Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht immer einfach. Für viele Funktionen sind jedoch Stammfuntkionen bekannt. Außerdem gibt es einige weitere Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen bzw. zur Berechnung von Integralen (z.B. partielle Integration, Substitution). Wir wollen jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht näher darauf eingehen.

Aufgabe Integrale 1.1

Berechnen Sie die folgenden Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:

• $\underset{2}{\overset{6}{\int }}(3t^2+1)dt,\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(2\sin (t)+3)dt,\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\exp (2t)dt$
• $\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}f(t)dt,\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f(t)dt,\underset{3}{\overset{8}{\int }}f(t)dt$

Aufgabe Integrale 1.2

$\text{für}f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty }[,f(t)=\{\begin{array}{cccccccc}1& ,& \text{falls}& & & t& \le & -2\\ 2t+5& ,& \text{falls}& -2& \le & t& \le & 0\\ 5-\sqrt{t}& ,& \text{falls}& 0& \le & t& \le & 4\\ t-1& ,& \text{falls}& 4& \le & t& & \end{array}.$

Uneigentliche Integrale I

Für unsere Zwecke sind auch sogenannte uneigentliche Integrale von Bedeutung. Dabei handelt es sich um Integrale, bei denen die untere Grenze $-\mathrm{\infty }$ oder die obere Grenze $\mathrm{\infty }$ ist (oder beides). Man berechnet solche Integrale mit Hilfe von Grenzwerten.

Uneigentliche Integrale II

Ist $f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty }[$ eine Funktion mit Stammfunktion $F:ℝ\to ℝ$, so ist: $$\begin{array}{ccccccc}\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt& =& {[F(t)]}_a^{\mathrm{\infty }}& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}F(t)& -& F(a)\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(t)dt& =& {[F(t)]}_{-\mathrm{\infty }}^b& =& F(b)& -& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to -\mathrm{\infty }}F(t)\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt& =& {[F(t)]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}F(t)& -& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to -\mathrm{\infty }}F(t)\end{array}$$

Anmerkung Uneigentliche Integrale

Man spricht auch dann von einem ’uneigentlichen Integral’, wenn die integrierte Funktion $f$ eine Defintionslücke hat und diese im Integrationsbereich $[a,b]$ liegt. Wir behandeln diesen Fall aber im Rahmen dieser Vorlesung nicht.

Beispiel Uneigentliche Integrale I

Für

$f(t)=\{\begin{array}{ccc}\frac{6}{t^2}& ,& \text{falls}t>1\\ 0& ,& \text{falls}t\le 1\end{array}$ ist:

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt={[-\frac{6}{t}]}_2^{\mathrm{\infty }}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}(-\frac{6}{t})-(-\frac{6}{2})=0-(-3)=3$

Beispiel Uneigentliche Integrale II

Für

$f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{6}{t}& ,& \text{falls}t>1\\ 0& ,& \text{falls}t\le 1\end{array}\right\}$ ist:

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt={[6\ln (t)]}_2^{\mathrm{\infty }}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}(6\ln (t))-6\ln (2)=\mathrm{\infty }-6\ln (2)=\mathrm{\infty }$

Beispiel Uneigentliche Integrale III

Für $f(t)=\frac{1}{1+t^2}$ ist

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt={[\arctan (t)]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}\arctan (t)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to -\mathrm{\infty }}\arctan (t)=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi$

(Wir begründen an dieser Stelle nicht, dass $\arctan$ eine Stammfunktion von $f$ ist.)

Aufgabe Uneigentliche Integrale

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-1}{\int }}f(t)dt,\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt$ und $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt$ für $f(t)=\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{t^3}& ,& \text{falls}t\le -1\\ 1& ,& \text{falls}-1\le t\le 1\\ \frac{1}{t^3}& ,& \text{falls}1\le t\end{array}$
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-1}{\int }}\exp (t+3)dt$ und $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (t+3)dt$

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