Kurs:Statistik für Anwender/Gleichverteilte Zufallsvariablen

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Gleichverteilte ZV

Seien a,b∈ℝ mit a<b gegeben.

Definition gleichverteilte Zufallsvariable

Eine ZV X mit der W-Dichte f:ℝ→[0,∞), f(t)={1b−a,falls t∈[a,b]0,sonst
heißt gleichverteilt auf dem Intervall [a,b].

Verteilungsfunktion gleichverteilte Zufallsvariable

Für die Verteilungsfunktion

F

von

X

gilt dann:

F(x)=∫−∞xf(t)dt={0,falls x∈]−∞,a[x−ab−a,falls x∈[a,b]1,falls x∈]b,∞[

Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable

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Beispiel gleichverteilte Zufallsvariable interaktiv

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Wahrscheinlichkeit gleichverteilte Zufallsvariable

Für eine auf dem Intervall [a,b] gleichverteilte ZV X gilt: P(a≤X≤b)=1
Weiterhin gilt für beliebige Zahlen u,v∈ℝ mit a≤u≤v≤b:
P(u≤X≤v)=v−ub−a
Die Gleichverteilung kann also als Modell verwendet werden, wenn Z nur Werte in [a,b] annehmen kann und mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle gleich großen Teilbereiche fällt.

Erwartungswert und Varianz gleichverteilte Zufallsvariable

Für eine auf dem Intervall [a,b]gleichverteilte ZV X gilt: E(X)=a+b2undV(X)=(b−a)212

Praktische Anwendung gleichverteilte Zufallsvariable

In bestimmten Situationen ist es naheliegend, gleichverteilte ZV als Modell zu verwenden:

  • Eine ZV, die den Winkel (im Bogenmaß bzw. im Gradmaß) beschreibt, den der Zeiger eines Glücksrad mit einer festen Markierung einschließt, kann plausibel durch eine Gleichverteilung (auf [0,2π] bzw. auf [0,360]) beschrieben werden.

  • In einer Stadt fährt eine U-Bahn alle 5 Minuten. Die Wartezeit auf die Bahn (in Minuten) bei zufälligem Eintreffen am Bahnsteig kann plausibel durch eine auf [0,5] gleichverteilte ZV beschrieben werden.

Beispiel I

Für eine auf [0,20] gleichverteilte ZV Z gilt P(Z≤8)=0.4,P(Z≥15)=0.25, P(3≤Z≤16)=0.65, P(−4≤Z≤22)=1
Außerdem ist E(Z)=10 und σZ=5.7735.

Beispiel II

Für eine auf [−8,8] gleichverteilte ZV gilt: P(2≤Z≤10)=0.375=P(2≤Z), P(−12≤Z≤−4)=0.25=P(Z≤−4)

Außerdem ist E(Z)=0 und σZ=1612=4.6188.

Gleichverteilte Zufallsvariable in R

Für eine auf dem Intervall [a,b]-gleichverteilte ZV X berechnet man in R:

  • die Funktionswerte der W-Dichte von X durch: f(t)=dunif(t,a,b)
  • die Funktionswerte der VF von X durch: F(x)=punif(x,a,b)
  • die Wahrscheinlichkeit für X∈[u,v] durch: P(u≤X≤v)=punif(v,a,b)−punif(u,a,b)


Aufgabe I

Seien

a

,

b∈ℝ

mit

a<b

. Betrachten Sie die Funktion

f:ℝ→ℝ, mit f(t)={1b−a, falls t∈[a,b],0, sonst
  1. Skizzieren Sie den Graphen von f für verschiedene Werte von a und b (evtl. auch mit R).
  2. Zeigen Sie, dass f eine W-Dichte ist.
  3. Überlegen Sie Beispiele für Zufallsexperimente, die durch eine ZV mit der W-Dichte f beschrieben werden können.
  4. Wie sieht die Verteilungsfunktion einer solchen ZV X aus? Geben Sie die Funktionsvorschrift an und skizzieren Sie die Funktion.
  5. Sei X eine stetige ZV mit der W-Dichte f für a=0 und b=10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(1≤X≤4), P(4<X≤12), P(X<2), P(X≥0) und P(X>10).

Aufgabe II

Gegeben sei die gleichverteilte ZV Z auf dem Intervall [−8,8]. Bestimmen Sie

  1. P(2≤Z≤10)
  2. P(−12≤Z≤−4)
  3. P(Z≥7)
  4. P(Z≤3)
  5. P(Z=8)
  6. Erwartungswert E(Z)
  7. Varainz V(Z)
  8. Standardabweichung σZ

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