Kurs:Quantencomputing/Quantenmechanik

Schrödinger-Gleichung

In der Quantenmachnik werden physikalische Systeme durch eine komplexwertige Wellenfunktion $\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$ beschrieben. Diese Wellenfunktion erfüllt die Schrödinger-Gleichung

$\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi }$

$\hat{H}$ ist dabei der sogenannte Hamilton-Operator und beschreibt die Energie des Systems. Im Fall eines Teilchens der Masse $m$ in einer Dimension in einem Potential $V(x)$ ist dieser durch

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x})=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V(\hat{x})$

gegeben.

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung, so dass für zwei Lösungen ${\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2$ der Ausdruck

$\mathrm{\Psi }=\lambda {\mathrm{\Psi }}_1+\mu {\mathrm{\Psi }}_2$

auch eine Lösung ist. Damit erlaubt die SChrödiinger-Gleichung Überlagerungen bzw. Superpositionen.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Aus der Schrödinger-Gleichung lässt sich

$\frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }{|}^2+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\hslash }{2m\mathrm{i}}({\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\frac{\partial }{\partial x}{\mathrm{\Psi }}^{*})\right)=0$

herleiten. Es handelt sich um die Kontinuitätsgleichung der Quantenmechanik. Damit ist die Größe

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}x|\mathrm{\Psi }{|}^2$

erhalten und kann auf Eins gesetzt werden. Zusätzlich ist die Größe $|\mathrm{\Psi }{|}^2$ stets größer oder gleich Null. Sie kann als Wahrscheinlichkeitsdichte ein Teilchen im Intervall $[x,x+\mathrm{d}x]$ anzutreffen interpretiert werden. Die Erwartungswerte eines Operators $\hat{A}$ sind durch

$⟨\hat{A}⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}x{\mathrm{\Psi }}^{*}(\hat{A}\mathrm{\Psi })$

zu bestimmen.

Vektorraum-Darstellung

Die Menge der komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen $\mathrm{\Psi }(x)$ bildet einen Vektorraum mit den Vektoren $|\mathrm{\Psi }⟩$. Er kann mit dem Skalarprodukt

$⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}x{\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\Psi }$

versehen werden. Von diesem wird eine Norm durch

$\Vert |\mathrm{\Psi }⟩\Vert =\sqrt{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$

induziert. Es handelt sich um einen Hilbertraum, der als $L^2$ bezeichnet wird.

Messungen

Messgrößen werden durch hermitesche Operatoren $\hat{A}$ beschrieben. Ihre (reellen) Eigenwerte stellen mögliche Messergebnisse dar. Damit lässt sich jeder Zustand durch eine Linearkombinationen der Eigenzustände von $\hat{A}$ durch

$|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _a{c}_a|a⟩=\sum _a|a⟩⟨a|\mathrm{\Psi }⟩$

ausdrücken. Bei der Messung des Eigenwerts $a^{\prime }$ kollabiert der Zustand auf den zum Eigenwert gehörenden Eigenzustand $|a^{\prime }⟩$.

Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation

Die Unschärfe $\mathrm{\Delta }A$ eines Operators $\hat{A}$ kann durch

$(\mathrm{\Delta }A{)}^2=⟨(\hat{A}-⟨\hat{A}⟩{)}^2⟩$

bestimmt werden. Aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung, kann der Zusammenhang

$(\mathrm{\Delta }A)\cdot (\mathrm{\Delta }B)\ge |\frac{1}{2\mathrm{i}}[\hat{A},\hat{B}]|$

hergeleitet werden. Dieses Ergebnis ist als Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation bekannt.

Siehe auch

Weiter hielfreiche Wikipediartikel sind:

• Schrödinger-Gleichung
• Mathematische Beschreibung der Quantenmechanik
• Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik
• Heisenberg'sche Unbestimmtheistrelation