Kurs:Quantencomputing/Ableitungen

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Definiton

Die Ableitung einer stetigen Funktion $f(x)$ ist durch
$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$
definiert.

Beispiele

Liste einfacher Ableitungen

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$c\in ℝ$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
${\mathrm{e}}^x$	${\mathrm{e}}^x$

Regeln

Ableitungen gehorchen den folgenden Regeln

• Linearität $(a\cdot f(x)+b\cdot g(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x)+b\cdot g^{\prime }(x)$
• Produktregel $(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$
• Kettenregel $(f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• Quotientenregel $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

Aufgaben

Bestimme $f^{\prime }(x)$ für

• $f(x)=3x^2-2x\sin (x)+3-2\cos (3x)$
• $g(x)=\sin (x)\cdot \cos (x)+3{\mathrm{e}}^{-2x^2}$
  
  

Lösungen

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Differenzierbarkeit einsehen.