Kurs:Physik für Techniker/Relativitätstheorie

Einführung

Die von Albert Einstein entwickelte Relativitätstheorie besteht aus der 1905 entwickelten Speziellen Relativitätstheorie als Spezialfall der 1916 veröffentlichten Allgemeinen Relativitätstheorie. In der ersten geht es um die konstante Bewegung von Körpern in Raum und Zeit, in der wesentlich komplexeren allgemeinen R. werden relativ zueinander beschleunigte Systeme, die Gravitation und deren Einfluß auf Maßstäbe und Uhren untersucht. Newton hatte keinerlei Zweifel daran, daß ein absolut ruhendes kartesisches Koordinatensystem existiert, in dem die Zeit konstant dahinfließt. Aber er hatte schon erkannt, daß sich diese absolute Ruhe nicht wirklich feststellen ließe, da man es immer mit relativ zueinander bewegten Bezugssystemen zu tun hat. Es spielt in einem Zug keine Rolle, ob der am Bahnsteig steht wenn man sich einen Hammer auf den Fuß fallen läßt oder ob der Zug mit 200 km/h relativ zur Erde unterwegs ist. Es tut in jedem Fall weh. Verallgemeinert lautet dieses Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik: Alle gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssysteme sind zur Beschreibung mechanischer Vorgänge gleichberechtigt Solche Systeme werden Inertialsysteme genannt.

Auf Äthersuche

1887 führten A. A. Michelson (1852 bis 1931) und E. W. Morley (1838 bis 1923) Messungen durch, die die Erdgeschwindigkeit relativ zum Äther bestimmen sollten. Der Äther war in der Vorstellung der Physiker das Medium, in dem sich Elektromagnetische Wellen bewegen müßten. Aber man fand keinen, zumindest war die Lichtgeschwindigkeit mit hoher Präzision gemessen worden und das Licht blieb immer gleich schnell.

Zur Lösung der Aufgabe 1 sind offensichtlich zwei Bezugssysteme praktisch. Eins das sich mit dem Flugzeug bewegt, das andere auf dem Erdboden. Die Formeln, die den Übergang zwischen den Beiden beschreiben, nennt man Galilei Transformation: Ein Punkt P mit den Koordinaten x, y und z in einem Koordinatensystem K hat im Koordinatensystem K´, das sich in Bezug auf K mit der Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ bewegt, die Koordinaten x´$=x-{\overrightarrow{v}}_x\cdot t$, y´$=y-{\overrightarrow{v}}_y\cdot t$, z´$=z-{\overrightarrow{v}}_z\cdot t$

Nun wird ein stromdurchflossener Draht betrachtet. Der ist für einen relativ zum Draht ruhenden Beobachter von einem konzentrischen Magnetfeld mit dem Betrag $H=\frac{I}{2\pi \cdot c^2\cdot r\cdot {ϵ}_0}$ umgeben. Für einen Beobachter in einem Bezugssystem S´, das sich gemäß $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{v}\cdot n\cdot e$ mit $\overrightarrow{v}$ entlang des Drahtes bewegt, existiert aber kein Magnetfeld, da die Elektronen für diesen Beobachter ruhen. Wird eine Probeladung Q in die Nähe des Drahtes gebracht, wird diese je nach Polarität vom Draht angezogen oder abgestoßen, auf jeden Fall werden beide Beobachter das gleiche sehen. Dies kann dann für den Beobachter in S´ nur durch ein elektrisches Feld hervorgerufen werden. Das wiederum kann nur aus einem Ungleichgewicht von positiven und negativen Ladungen hervorgehen. Eine paradoxe Situation, zumal neben den beiden Grenzfällen unendlich viele Relativbewegungen zwischen Beobachter und Draht denkbar sind.

Der Ausweg aus dem Paradoxon ist also die Längenkontraktion des Drahtes. Dadurch wird die Ladungsdichte der positiven Drahtionen größer als die der Elektronen, der Draht ist positiv geladen.

Lorentz-Transformation

Zu den Konsequenzen, die sich aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ergeben, hat der "gesunde Menschenverstand" wohl den geringsten Zugang. So konnte sich auch Lorentz nichts physikalisch reales unter den verschiedenen Zeiten t und t´ vorstellen, die sich aus seinen Transformationsgleichungen ergaben. Erst Einstein postulierte, daß die Zeitdilatation der physikalischen Realität entspricht und der Ablauf der Zeit tatsächlich von der Relativgeschwindigkeit der Uhren abhängt. Dabei reagieren biologische Uhren ebenso wie mechanische, woraus z.B. das Zwillingsparadoxon resultiert. Ein gleichförmig bewegter Beobachter mit $v$ in $x$-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter erhält die Koordinaten $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, die er einem Ereignis zuordnet, durch die Lorentz-Transformation:

$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z$

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Aus obiger Gleichung wird ersichtlich, warum nur Teilchen mit der Ruhemasse $m(0)=0$ Lichtgeschwindigkeit erreichen können.

Die Feldgleichungen des Newton´schen Gravitationsfeldes

Nach der Newton´schen Theorie sind die Massen die Quellen (mathematisch die Divergenz) des Vektorfeldes a(r) der Gravitationsbeschleunigung, das ein skalares Potential, das Gravitationspotential $\mathrm{\Phi }(r)$, aus dem es durch Gradientenbildung hervorgeht. Mit der Massendichte $\rho (r)$ und der Gravitationskonstanten $G$ folgt der Zusammenhang

$\mathrm{\nabla }a(r)=4\pi G\rho (r)$, $a(r)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(r)$ oder durch Einsetzen von (2) in (1) durch die Poisson-Gleichung
${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-4\pi G\rho (r)$

Das ist eine Differentialgleichung für die Potentialfunktion $\mathrm{\Phi }(r)$ bei vorgegebener Verteilung der Massendichte. Mit der Randbedingung, daß $\mathrm{\Phi }$ im Unendlichen gegen Null geht, hat sie die Lösung
$\mathrm{\Phi }(r)=4\pi G\int \int \int \frac{\rho (r^{\prime })}{|r-r^{\prime }|}d{V}^{\prime }$

Die Einstein-Gleichung $G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$

Unter Beachtung der folgenden Korrespondenzen läßt sich der Gedankengang sinngemäß wie folgt nachbilden. Der skalaren Massendichte $\rho (r)$ entspricht ein 10-komponentiges Feld, der Energie-Impuls-Tensor $T_{ik}$, der Energiedichte (eine Größe), Energiestromdichte mit drei und Impulsstromdichte mit 6 Größen zusammenfasst. Dem Beschleunigungsfeld entspricht ein aus 40 Komponenten bestehendes Feld ${\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j$ und dem skalarren Potential entspricht ein 10-komponentiges Feld, der metrische Fundamentaltensor $g_{ik}$
Das alles sieht in Tensorschreibweise beinah trivial aus $G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$
Daß das alles andere als trivial ist sieht man an den gescheiterten Versuchen, Lösungen zu finden. Die Schwarzschild-Lösung wurde hingegen ein gutes Dutzend mal wiederentdeckt.