Kurs:Physik für Techniker/Fehlerrechnung

Vorlage:Kurs:Physik für Techniker Vorlage:Wikipedia Mit Messgeräten und den dazugehörigen Messmethoden werden physikalische Größen zahlenmäßg erfasst. Die gemessenen Werte enthalten jedoch Fehler und können daher nur mit einer bestimmten Genauigkeit erfasst werden. Man unterscheidet hierbei zwischen systematischen und statistischen Fehlern.

Bei der Messung eines bestimmten Wertes erhält man die Gauß’sche Glockenkurve. Im Weiteren wird diese Verteilung angenommen.

Mittelwert

Vorlage:Wikipedia Für eine endliche Zahl an Einzelmessungen ${}_{x_i}$ ist deren Mittelwert ${}_{\bar{x}}$ die beste Näherung für den wahren Wert ${}_{x_w}$. Bei Messungen gleicher Qualität ist das arithmetische Mittel anzuwenden:

$x_w\approx \bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=i}^n{x}_i$

Jede Messung weicht hierbei mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vom wahren Wert ab. Die Wahrscheinlichkeit ist hierbei das Verhältnis aller günstigen Fälle zu allen möglichen Fällen.

Streuung

$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{v}_i^2$

Standardabweichung

${\sigma }^2=\frac{n}{n-1}{s}^2=\frac{1}{n-1}\sum _n^{i=1}{v}_i^2$

mittlerer Fehler Δ x

$\mathrm{\Delta }x=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Messergebnis y

$y=\bar{x}\pm \mathrm{\Delta }x$

σ-Intervall

$y=\bar{x}\pm k\sigma$

Intervall	Wahrscheinlichkeit, dass x im Intervall ist
$\bar{x}\pm \sigma$	68,3%
$\bar{x}\pm 2\sigma$	95,4%
$\bar{x}\pm 3\sigma$	99,7%

Wahrscheinlichkeitsdichte

$\psi (x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-x_w{)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Vorlage:Wikipedia Die Wahrscheinlichkeit ${}_{P_{\alpha ,\beta }}$, die angibt ob sich ein Messwert x zwischen den Werten α und β befindet, ist durch

$P_{\alpha ,\beta }=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\psi (x)dx=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{\frac{(x-x_w{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx$

gegeben. Die Gesamtfläche unter der Gauß’schen Glockenkurve beträgt 1, da sich jeder Messwert zwischen ${}_{-\mathrm{\infty }}$ und ${}_{+\mathrm{\infty }}$ befindet:

$P_{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x)dx=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{(x-x_w{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=1$

Die Gauß’sche Glockenkurve wird insbesondere durch die Halbwertsbreite

$2\sigma \sqrt{2\ln 2}$

charakterisiert. Diese gibt die Breite der Gauß`schen Glockenkurve auf der halben Höhe

$\frac{1}{2\sigma \sqrt{2\pi }}$

an.

Fehlerfortpflanzungsgesetz

${\sigma }_y=\sqrt{\sum _n^{i=1}{\left(\frac{\partial y}{\partial {\xi }_i}{\sigma }_i\right)}^2}$

oder

$\mathrm{\Delta }y=\sqrt{\sum _n^{i=1}{\left(\frac{\partial y}{\partial {\xi }_i}\mathrm{\Delta }{\xi }_i\right)}^2}$