Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

§1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche

Satz 1 (Eulersche Formel für die Normalkrümmung)

Die Normalkrümmung der Fläche in Richtung $𝔶=\cos \vartheta {𝔢}_1(u,v)+\sin \vartheta {𝔢}_2(u,v)$ wird gegeben durch

(1) $Q(𝔶)={\kappa }_1(u,v){\cos }^2\vartheta +{\kappa }_2(u,v){\sin }^2\vartheta .$

Ist ${\kappa }_1(u,v)\le {\kappa }_2(u,v)$ erfüllt, so wird die Normalkrümmung in Richtung ${𝔢}_1(u,v)$ minimiert und in Richtung ${𝔢}_2(u,v)$ maximiert.

Definition 1

Einen Punkt $𝔵(u,v)$ der Fläche $𝔵$ nennen wir Nabelpunkt, falls ${\kappa }_1(u,v)={\kappa }_2(u,v)$ erfüllt ist.

Definition 2

Wir erklären die Gaußsche Krümmung der Fläche als

(2) $K(u,v):={\kappa }_1(u,v){\kappa }_2(u,v)=\det W(u,v),(u,v)\in \mathrm{\Omega }.$

Unter der mittleren Krümmung verstehen wir

(3) $H(u,v):=\frac{1}{2}({\kappa }_1(u,v)+{\kappa }_2(u,v))=\frac{1}{2}SpW(u,v),(u,v)\in \mathrm{\Omega }.$

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

Satz 1 (Rellich)

Eine gemäß

(1) ${𝔵}_u\cdot {𝔵}_v=0=|{𝔵}_u{|}^2+|{𝔵}_v{|}^2$ in $\mathrm{\Omega }$

konform parametrisierte Fläche $𝔵=𝔵(u,v):\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^3$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H=H(𝔵)$, wenn sie dem $H$-Flächensystem

(2) $\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)=2H(𝔵){𝔵}_u\wedge {𝔵}_v$

genügt.

Satz 2 (Lagrange-Gauß)

Der Graph $z=\zeta (x,y),(x,y)\in \mathrm{\Omega }$ hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung $H=H(x,y,z)$, wenn $\zeta$ die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung

(3) $ℳ\zeta :=(1+{\zeta }_y^2){\zeta }_{xx}-2{\zeta }_x{\zeta }_y{\zeta }_{xy}+(1+{\zeta }_x^2){\zeta }_{yy}=2H(𝔵){\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }\zeta (x,y){|}^2}}^3$ in $\mathrm{\Omega }$

erfüllt.

§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)

Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)

Für die hyperbolische Differentialgleichung

(1) $0=a(x,y){\zeta }_{xx}(x,y)+2b(x,y){\zeta }_{xy}(x,y)+c(x,y){\zeta }_{yy}(x,y)+d(x,y,\zeta (x,y),\mathrm{\nabla }\zeta (x,y))$ in $\mathrm{\Omega }$

mit

(2) $a(x,y)c(x,y)-b(x,y{)}^2<0$ in $\mathrm{\Omega }$

gibt es eine Variablentransformation

$\xi =\xi (x,y),\eta =\eta (x,y)\in C^2(𝒰(x_0,y_0)),$

${\xi }_0=\xi (x_0,y_0),{\eta }_0=\eta (x_0,y_0),\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}\ne 0$ in $𝒰(x_0,y_0)$

mit der Umkehrabbildung $x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )\in C^2(𝒰({\xi }_0,{\eta }_0))$

mit

$Q(\xi )=0=Q(\eta )$ in $𝒰(x_0,y_0)$.

Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform

(3) $z_{\xi \eta }(\xi ,\eta )=-{\{\frac{1}{B(x,y)}D(x,y,z,p,q)\}|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x(\xi ,\eta )}{y=y(\xi ,\eta )}}$

und die Parametertransformation $x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )$ genügt dem System

(4) $y_{\xi }-{\lambda }^{+}{x}_{\xi }=0,y_{\eta }-{\lambda }^{-}{x}_{\eta }=0$

erster Ordnung.

Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)

Die quasilineare Differentialgleichung

(5) $\begin{array}{ccc}ℒ\zeta (x,y)& :=& a(x,y,\zeta (x,y)\mathrm{\nabla }\zeta (x,y)){\zeta }_{xx}(x,y)+2b(\dots ){\zeta }_{xy}(x,y)+c(\dots ){\zeta }_{yy}(x,y)\\ & & +d(x,y,\zeta (x,y)\mathrm{\nabla }\zeta (x,y))=0in\mathrm{\Omega },\end{array}$

welche gemäß

$a(x,y)c(x,y)-b(x,y{)}^2<0$ in $\mathrm{\Omega }$

hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung $z=\zeta (x,y)$ ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung

(6) $y_{\xi }-{\lambda }^{+}{x}_{\xi }=0,y_{\eta }-{\lambda }^{-}{x}_{\eta }=0$

(6) $p_{\xi }+{\lambda }^{-}{q}_{\xi }+\frac{d}{a}{x}_{\xi }=0,p_{\eta }+{\lambda }^{+}{q}_{\eta }+\frac{d}{a}{x}_{\eta }=0$

(6) $z_{\xi }-p{x}_{\xi }-q{y}_{\xi }=0.$

Für die Funktion $𝔶(\xi ,\eta ):=(x(\xi ,\eta ),y(\xi ,\eta ),z(\xi ,\eta ),p(\xi ,\eta ),q(\xi ,\eta ))$ ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung

(7) ${𝔶}_{\xi \eta }(\xi ,\eta )={𝔥}_{\xi \eta }(\xi ,\eta ,𝔶(\xi ,\eta ),{𝔶}_{\xi }(\xi ,\eta ),{𝔶}_{\eta }(\xi ,\eta )),$

wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen $x_{\xi },y_{\xi },\dots ,p_{\eta },q_{\eta }$ ist.

Beweis

1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen

$\left(\begin{array}{cc}{x}_{\xi }& x_{\eta }\\ y_{\xi }& y_{\eta }\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\xi }_x& {\xi }_y\\ {\eta }_x& {\eta }_y\end{array}\right)}^{-1}=\frac{\partial (x,y)}{\partial (\xi ,\eta )}\left(\begin{array}{cc}{\eta }_y& -{\xi }_y\\ -{\eta }_x& {\xi }_x\end{array}\right)$

die Beziehungen

${\eta }_x+{\lambda }^{+}{\eta }_y=0,{\xi }_x+{\lambda }^{-}{\xi }_y=0.$

Somit folgt

$z_{xx}=p_x=p_{\xi }{\xi }_x+p_{\eta }{\eta }_x=-({\lambda }^{-}{q}_{\xi }+\frac{d}{a}{x}_{\xi }){\xi }_x-({\lambda }^{+}{q}_{\eta }+\frac{d}{a}{x}_{\eta }){\eta }_x$

$=-({\lambda }^{+}+{\lambda }^{-})(q_{\xi }{\xi }_x+q_{\eta }{\eta }_x)-{\lambda }^{+}{\lambda }^{-}(q_{\xi }{\xi }_y+q_{\eta }{\eta }_y)-\frac{d}{a}=-\frac{2b}{a}{z}_{yx}-\frac{c}{a}{z}_{yy}-\frac{d}{a},$

woraus sich $a{z}_{xx}+2b{z}_{xy}+c{z}_{yy}+d=0$ ergibt.

2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur $\xi$-Ableitungen vorkommen, nach $\eta$ und umgekehrt, so erhalten wir

(8) $-{\lambda }^{+}{x}_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\dots$

(8) $-{\lambda }^{-}{x}_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\dots$

(8) $\frac{d}{a}{x}_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+{\lambda }^{-}{q}_{\xi \eta }=\dots$

(8) $\frac{d}{a}{x}_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+{\lambda }^{+}{q}_{\xi \eta }=\dots$

(8) $-p{x}_{\xi \eta }-q{y}_{\xi \eta }+z_{\xi \eta }=\dots$

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von $x,y,z,p,q$. Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $x_{\xi \eta },y_{\xi \eta },z_{\xi \eta },p_{\xi \eta },q_{\xi \eta }$ auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen

(9) $\left|\begin{array}{ccccc}-{\lambda }^{+}& 1& 0& 0& 0\\ -{\lambda }^{-}& 1& 0& 0& 0\\ \frac{d}{a}& 0& 0& 1& {\lambda }^{-}\\ \frac{d}{a}& 0& 0& 1& {\lambda }^{+}\\ -p& -q& 1& 0& 0\end{array}\right|=-4\frac{b^2-ac}{a^2}\ne 0.$

Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.

q.e.d.

§5 Die Riemannsche Integrationsmethode

Definition 1

Die Funktion $v(\xi ,\eta )=:R(\xi ,\eta ;x,y)$ heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt:

1. $v$ genügt der Differentialgleichung $ℳv=0$ in $T(x,y)$.
2. Wir haben $v(x,y)=R(x,y;x,y)=1$.
3. Längs $\widehat{BP}$ gilt $-v_y+av=0$ bzw. $v(x,\eta )=\exp \{\underset{y}{\overset{\eta }{\int }}a(x,t)dt\}$.
4. Längs $\widehat{PA}$ gilt $-v_x+bv=0$ bzw. $v(\xi ,y)=\exp \{\underset{x}{\overset{\xi }{\int }}b(t,y)dt\}$.

Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)

Eine Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung $ℒu(\xi ,\eta )=h(\xi ,\eta )$ kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion $R(\xi ,\eta ;x,y)$ wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: Für $P=(x,y)$ gilt

$u(P)=u(A)R(A;P)-\underset{T(x,y)}{\iint }R(\xi ,\eta ;P)h(\xi ,\eta )d\xi d\eta +\underset{\mathrm{\Gamma }(x,y)}{\int }\{-(R_{\eta }(\xi ,\eta ;P)h(\xi ,\eta )+auR){\nu }_1+(R{u}_{\xi }+bRu){\nu }_2\}d\sigma .$

§6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem

Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)

Sei eine Lösung $𝔵=𝔵(u,v)=(x_1(u,v),\dots ,x_n(u,v)):B\to {ℝ}^n\in C^3(B,{ℝ}^n)$ des Differentialgleichungsproblems

(1) $\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)=𝔉(u,v,𝔵(u,v),{𝔵}_u(u,v),{𝔵}_v(u,v)),(u,v)\in B$

mit der reellanalytischen rechten Seite

(2) $𝔉:𝒪\to {ℝ}^n$

bzw.

(3) $𝔉=𝔉(u,v,z_1,\dots ,z_n,p_1,\dots ,p_n,q_1,\dots ,q_n):𝒪\to {ℂ}^n\in C^1(𝒪,{ℂ}^n)$

mit

(4) ${𝔉}_{\bar{u}}\equiv {𝔉}_{\bar{v}}\equiv {𝔉}_{\overline{z_1}}\equiv \dots \equiv {𝔉}_{\overline{z_n}}\equiv {𝔉}_{\overline{p_1}}\equiv \dots \equiv {𝔉}_{\overline{p_n}}\equiv {𝔉}_{\overline{q_1}}\equiv \dots \equiv {𝔉}_{\overline{q_n}}\equiv 0$

gegeben. Dann ist $𝔵$ reellanalytisch in $B$.

Beweis

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung $𝔵=𝐱(\alpha ,\gamma ):B\to {ℝ}^n\in C^3(B,{ℝ}^n)$ des Differentialgleichungssystems

(5) ${𝐱}_{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma )+{𝐱}_{\gamma \gamma }(\alpha ,\gamma )=𝐅(\alpha ,\gamma ,𝐱,{𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\gamma ),{𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\gamma ))$ in $B$.

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem

(6) $\begin{array}{c}-{𝐱}_{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+{𝐱}_{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=𝐅(\alpha ,\beta ,\gamma ,𝐱,-i{𝐱}_{\beta },{𝐱}_{\gamma })\text{ in }{ℬ}^{\prime },\\ 𝐱(\alpha ,0,\gamma )=𝐱(\alpha ,\gamma )\text{ in }B,\\ {𝐱}_{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=i{𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\gamma )\text{ in }B\end{array}$

zum Parameter $\alpha$. Hierbei ist ${ℬ}^{\prime }\subset {ℝ}^3$ eine geeignete offene Menge mit $B\subset {ℬ}^{\prime }$. Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung $𝐱=𝐱(\alpha ,\beta ,\gamma )$, da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus $B$ herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter $\alpha$ abhängt. Es sei nun $u:=\alpha +i\beta$. Wir können nun den Operator

$\frac{\partial }{\partial \bar{u}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial \alpha }+i\frac{\partial }{\partial \beta })$

auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion

$𝐲(\alpha ,\beta ,\gamma )=(y_1(\alpha ,\beta ,\gamma ),\dots ,y_n(\alpha ,\beta ,\gamma )):={𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )$

das Differentialgleichungssystem

(7) $-{𝐲}_{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+{𝐲}_{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^n\{{𝐅}_{z_j}{y}_j-i{𝐅}_{p_j}{y}_{j,\beta }+{𝐅}_{q_j}{y}_{j,\gamma }\}$ in ${ℬ}^{\prime }$.

Offenbar ist wegen (6)

(8) $𝐲(\alpha ,0,\gamma )=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha }(\alpha ,0,\gamma )+i{𝐱}_{\beta }(\alpha ,0,\gamma ))=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\gamma )+ii{𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0$ in $B$

richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)

${𝐲}_{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i{𝐱}_{\beta \beta }(\alpha ,0,\gamma ))$

$=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i{𝐱}_{\gamma \gamma }(\alpha ,0,\gamma )-i𝐅(\alpha ,0,\gamma ,𝐱,{𝐱}_{\alpha },{𝐱}_{\gamma }))=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )-i{𝐱}_{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma ))$

$=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \alpha }({𝐱}_{\beta }(\alpha ,0,\gamma )-i{𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0$ in $B$,

also

(9) ${𝐲}_{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=0$ in $B$.

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch $𝐲(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0$ in ${ℬ}^{\prime }$ und es folgt

(10) ${𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0$ in ${ℬ}^{\prime }$.

2. Wir setzen nun $𝐱$ von ${ℬ}^{\prime }$ auf $ℬ\subset {ℂ}^2$ fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem

(11) $\begin{array}{c}{𝐱}_{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-{𝐱}_{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=𝐅(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,𝐱,{𝐱}_{\alpha },-i{𝐱}_{\delta })\text{ in }ℬ,\\ 𝐱(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=𝐱(\alpha ,\beta ,\gamma )\text{ in }{ℬ}^{\prime },\\ {𝐱}_{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=i{𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )\text{ in }{ℬ}^{\prime }.\end{array}$

Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern $\beta ,\gamma$ ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion

$𝐲(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(y_1(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\dots ,y_n(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):={𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ).$

Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System

(12) ${𝐲}_{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-{𝐲}_{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^n\{{𝐅}_{z_j}{y}_j+{𝐅}_{p_j}{y}_{j,\alpha }-i{𝐅}_{q_j}{y}_{j,\delta }\}$ in $ℬ$

und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen

(13) $𝐲(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i{𝐱}_{\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))={𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0$ in ${ℬ}^{\prime }$

und

(14) ${𝐲}_{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\frac{1}{2}({𝐱}_{\alpha \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i{𝐱}_{\beta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=i\frac{\partial }{\partial \gamma }{𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0$ in ${ℬ}^{\prime }$.

Aus (12) – (14) folgt $𝐲(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=0$ in $ℬ$ bzw.

(15) ${𝐱}_{\bar{u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in $ℬ$.

Schließlich untersuchen wir die Funktion

$𝐳(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(z_1(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\dots ,z_n(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):={𝐱}_{\bar{v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),$

welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:

(16) ${𝐳}_{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-{𝐳}_{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^n\{{𝐅}_{z_j}{z}_j+{𝐅}_{p_j}{z}_{j,\alpha }-i{𝐅}_{q_j}{z}_{j,\delta }\}$ in $ℬ$.

Wir berechnen für $𝐳$ die Anfangsbedingungen

(17) $𝐳(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\frac{1}{2}({𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i{𝐱}_{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=\frac{1}{2}({𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )+ii{𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ))=0$ in ${ℬ}^{\prime }$

und

(18) ${𝐳}_{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\frac{1}{2}({𝐱}_{\gamma \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i{𝐱}_{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=\frac{\partial }{\partial \gamma }\frac{1}{2}({𝐱}_{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)-i{𝐱}_{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=0$ in ${ℬ}^{\prime }$,

wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in ${ℬ}^{\prime }$. Aus (16) – (18) schließen wir nun $𝐳(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in $ℬ$ bzw.

(19) ${𝐱}_{\bar{v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0$ in $ℬ$.

Wir haben also die Lösung $𝐱=22$ von (5) zu einer Funktion $𝐱=𝐱(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ):ℬ\to {ℂ}^n$ fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen $u=\alpha +i\beta$ und $v=\gamma +i\delta$ ist. Somit ist

$𝐱(\alpha ,\gamma )=𝐱(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){|}_{\beta =\delta =0}$

reell analytisch in $\alpha$ und $\gamma$.

q.e.d.