Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Maximumprinzipipien für das H-Flächensystem

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Die Funktion $H=H(w,𝔵)\in C^0(\bar{B}\times {ℝ}^3)$ genüge den Ungleichungen

(1) $|H(w,𝔵)|\le h_0,|H(w,𝔵)-H(w,𝔶)|\le h_1|𝔵-𝔶|$ für alle $w\in B,𝔵,𝔶\in {ℝ}^3$

und $𝔵=𝔵(u,v),𝔶=𝔶(u,v)$ seien zwei Lösungen des H-Flächensystems

(2) $𝔵=𝔵(u,v)\in C^2(B,{ℝ}^3)\cap C^0(\bar{B},{ℝ}^3),\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)=2H(w,𝔵(w)){𝔵}_u\wedge {𝔵}_v,w\in B.$

Wir setzen

(3) $F(u,v):=\frac{|𝔵(u,v)-𝔶(u,v){|}^2}{(M^2-|𝔵(u,v){|}^2)(M^2-|𝔶(u,v){|}^2)},(u,v)\in \bar{B}.$

Dabei gelte $|𝔵(u,v)|<M,|𝔶(u,v)|<M$ für alle $(u,v)\in \bar{B}$ mit

$M=\frac{\sqrt{h_0^2+2h_1}}{h_0^2+h_1}.$

Behauptung: Dann genügt $F$ der linearen, elliptischen Differentialgleichung

$ℒF:=\{(M^2-|𝔵{|}^2)(M^2-|𝔶{|}^2)F_u{\}}_u+\{(M^2-|𝔵{|}^2)(M^2-|𝔶{|}^2)F_v{\}}_v\ge 0$ in $B$.

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Sei die Funktion $𝔵(u,v)=(x_1(u,v),\dots ,x_n(u,v)):\bar{B}\to {ℝ}^n\in C^2(B)\cap C^0(\bar{B})$ eine Lösung der Differentialgleichung

(4) $|\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2,(u,v)\in B.$

Die Kleinheitsbedingung

(5) $|𝔵(u,v)|\le M,(u,v)\in B$

sei erfüllt und es gelte

(6) $aM\le 1$ für die Konstanten $a\in [0,+\mathrm{\infty }),M\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Behauptung: Dann folgt

$\underset{(u,v)\in B}{\sup }|𝔵(u,v)|\le \underset{(u,v)\in \partial B}{\sup }|𝔵(u,v)|.$

Beweis

Die Hilfsfunktion $f(u,v):=|𝔵(u,v){|}^2,(u,v)\in \bar{B}$ genügt der Differentialungleichung

$\mathrm{\Delta }f(u,v)=2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2+𝔵(u,v)\cdot \mathrm{\Delta }𝔵(u,v))\ge 2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2-|𝔵(u,v)||\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)|)$

$\ge 2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2-a|𝔵(u,v)||\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2)\ge 2|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2(1-aM)\ge 0$ in $B$.

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Die Funktion $H=H(w,𝔵):\bar{B}\times {ℝ}^3\to ℝ\in C^0(\bar{B}\times {ℝ}^3,ℝ)$ genüge (1) und wir setzen

$M:=\frac{\sqrt{h_0^2+2h_1}}{h_0^2+h_1}.$

Weiter seien $𝔵,𝔶$ zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit

(7) $|𝔵(u,v)|\le M,|𝔶(u,v)|\le M$ für alle $(u,v)\in \bar{B}$.

Zusätzlich gelte $\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}:=\underset{w\in \partial B}{\sup }|𝔵(w)|<M$ und $\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$.

Behauptung: Dann haben wir für alle $w\in \bar{B}$ die Ungleichung

(8) $\frac{|𝔵(w)-𝔶(w){|}^2}{(M^2-|𝔵(w){|}^2)(M^2-|𝔶(w){|}^2)}\le \frac{\Vert 𝔵-𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2}{(M^2-\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2)(M^2-\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2)}.$

Beweis

Wir wollen auf die Funktionen $𝔵$ und $𝔶$ das geometrische Maximumprinzip mit $a=h_0$ anwenden. Dazu bemerken wir, dass $aM\le 1$ genau dann gilt, wenn

$\frac{h_0^2(h_0^2+2h_1)}{(h_0^2+h_1{)}^2}\le 1$

bzw. $h_0^4+2h_1{h}_0^2\le h_0^4+2h_1{h}_0^2+h_1^2$ richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

$\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\bar{B})}\le \Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$ und $\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\bar{B})}\le \Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$

Auf die Hilfsfunktion $F(u,v)$ aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Die Funktion $H=H(w,𝔵)\in C^0(\bar{B}\times {ℝ}^3)$ genüge den Ungleichungen

(1) $|H(w,𝔵)|\le h_0,|H(w,𝔵)-H(w,𝔶)|\le h_1|𝔵-𝔶|$ für alle $w\in B,𝔵,𝔶\in {ℝ}^3$

und $𝔵=𝔵(u,v),𝔶=𝔶(u,v)$ seien zwei Lösungen des H-Flächensystems

(2) $𝔵=𝔵(u,v)\in C^2(B,{ℝ}^3)\cap C^0(\bar{B},{ℝ}^3),\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)=2H(w,𝔵(w)){𝔵}_u\wedge {𝔵}_v,w\in B.$

Wir setzen

(3) $F(u,v):=\frac{|𝔵(u,v)-𝔶(u,v){|}^2}{(M^2-|𝔵(u,v){|}^2)(M^2-|𝔶(u,v){|}^2)},(u,v)\in \bar{B}.$

Dabei gelte $|𝔵(u,v)|<M,|𝔶(u,v)|<M$ für alle $(u,v)\in \bar{B}$ mit

$M=\frac{\sqrt{h_0^2+2h_1}}{h_0^2+h_1}.$

Behauptung: Dann genügt $F$ der linearen, elliptischen Differentialgleichung

$ℒF:=\{(M^2-|𝔵{|}^2)(M^2-|𝔶{|}^2)F_u{\}}_u+\{(M^2-|𝔵{|}^2)(M^2-|𝔶{|}^2)F_v{\}}_v\ge 0$ in $B$.

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Sei die Funktion $𝔵(u,v)=(x_1(u,v),\dots ,x_n(u,v)):\bar{B}\to {ℝ}^n\in C^2(B)\cap C^0(\bar{B})$ eine Lösung der Differentialgleichung

(4) $|\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2,(u,v)\in B.$

Die Kleinheitsbedingung

(5) $|𝔵(u,v)|\le M,(u,v)\in B$

sei erfüllt und es gelte

(6) $aM\le 1$ für die Konstanten $a\in [0,+\mathrm{\infty }),M\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Behauptung: Dann folgt

$\underset{(u,v)\in B}{\sup }|𝔵(u,v)|\le \underset{(u,v)\in \partial B}{\sup }|𝔵(u,v)|.$

Beweis

Die Hilfsfunktion $f(u,v):=|𝔵(u,v){|}^2,(u,v)\in \bar{B}$ genügt der Differentialungleichung

$\mathrm{\Delta }f(u,v)=2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2+𝔵(u,v)\cdot \mathrm{\Delta }𝔵(u,v))\ge 2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2-|𝔵(u,v)||\mathrm{\Delta }𝔵(u,v)|)$

$\ge 2(|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2-a|𝔵(u,v)||\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2)\ge 2|\mathrm{\nabla }𝔵(u,v){|}^2(1-aM)\ge 0$ in $B$.

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Die Funktion $H=H(w,𝔵):\bar{B}\times {ℝ}^3\to ℝ\in C^0(\bar{B}\times {ℝ}^3,ℝ)$ genüge (1) und wir setzen

$M:=\frac{\sqrt{h_0^2+2h_1}}{h_0^2+h_1}.$

Weiter seien $𝔵,𝔶$ zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit

(7) $|𝔵(u,v)|\le M,|𝔶(u,v)|\le M$ für alle $(u,v)\in \bar{B}$.

Zusätzlich gelte $\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}:=\underset{w\in \partial B}{\sup }|𝔵(w)|<M$ und $\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$.

Behauptung: Dann haben wir für alle $w\in \bar{B}$ die Ungleichung

(8) $\frac{|𝔵(w)-𝔶(w){|}^2}{(M^2-|𝔵(w){|}^2)(M^2-|𝔶(w){|}^2)}\le \frac{\Vert 𝔵-𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2}{(M^2-\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2)(M^2-\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}^2)}.$

Beweis

Wir wollen auf die Funktionen $𝔵$ und $𝔶$ das geometrische Maximumprinzip mit $a=h_0$ anwenden. Dazu bemerken wir, dass $aM\le 1$ genau dann gilt, wenn

$\frac{h_0^2(h_0^2+2h_1)}{(h_0^2+h_1{)}^2}\le 1$

bzw. $h_0^4+2h_1{h}_0^2\le h_0^4+2h_1{h}_0^2+h_1^2$ richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

$\Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\bar{B})}\le \Vert 𝔵{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$ und $\Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\bar{B})}\le \Vert 𝔶{\Vert }_{C^0(\partial B)}<M$

Auf die Hilfsfunktion $F(u,v)$ aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

q.e.d.