Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Globale Abschätzungen für nichtlineare Systeme

Satz 1 (Globale $C^{1+\alpha }$-Abschätzung)

Sei $𝔵=𝔵(\xi ,\eta )$ eine Lösung von

(1) $\begin{array}{c}𝔵=𝔵(\zeta )=(x_1(\xi ,\eta ),\dots ,x_n(\xi ,\eta ))\in C^2(E,{ℝ}^n)\cap C^1(\bar{E},{ℝ}^n),\\ |\mathrm{\Delta }𝔵(\xi ,\eta )|\le a|\mathrm{\nabla }𝔵(\xi ,\eta ){|}^2+bf\ddot{u}ralle(\xi ,\eta )\in E,\\ |𝔵(\xi ,\eta )|\le Mf\ddot{u}ralle(\xi ,\eta )\in E,\\ 𝔵(\xi ,\eta )=0f\ddot{u}ralle(\xi ,\eta )\in \partial E\end{array}$

mit $aM<1$ und es sei $\alpha \in (0,1)$ gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,b,M,\alpha )$, so dass gilt

(2) $\Vert 𝔵{\Vert }_{C^{1+\alpha }(\bar{E})}\le C(a,b,M,\alpha ).$

Beweis

1. Mit der Methode von Satz 1 aus §2 wollen wir $|\mathrm{\nabla }𝔵|$ in $\bar{E}$ nach oben abschätzen. Wir betrachten hierzu die Funktion

(3) $\varphi (\zeta ):=|{𝔵}_{\zeta }(\zeta )|=\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }𝔵(\zeta )|,\zeta \in \bar{E},$

welche in einem Punkt ${\zeta }_0\in \bar{E}$ ihr Maximum annimmt. Zu diesem Punkt ${\zeta }_0\in \bar{E}$ gibt es ein $\mu \in [0,2\pi )$ und einen Punkt $w_0\in J\subset {ℂ}^{+}\cup ℝ$, so dass $g_{\mu }(w_0)={\zeta }_0$ richtig ist. Wir halten nun den Winkel $\mu$ fest und unterdrücken den Index. Mit der Abbildung

(4) $g_{\mu }(w):=e^{i\mu }g(w)$

führen wir in $𝔵=𝔵(\xi ,\eta )$ der neuen Parameter $(u,v)$ ein und spiegeln $𝔵\circ g(u,v)$ an der Achse $v=0$:

(5) $\widehat{𝔵}(u,v):=\{\begin{array}{cc}𝔵\circ g(u,v),& w=u+iv\in {ℂ}^{+}\cup ℝ\\ 𝔵\circ g(u,-v),& w=u+iv\in {ℂ}^{-}:=\{\tilde{w}\in ℂ:\mathrm{Im}\tilde{w}<0\}\end{array}.$

Eine einfache Rechnung zeigt

$\widehat{𝔵}(u,v)\in C^2({ℂ}^{+}\cup {ℂ}^{-})\cap C^1({ℂ}^{+}\cup ℝ)\cap C^0(ℂ)$

$\underset{u+iv\in ℂ}{\sup }|\widehat{𝔵}(u,v)|\le M,\widehat{𝔵}(u,0)=0$ für alle $u\in ℝ$,

$|\mathrm{\Delta }\widehat{𝔵}(u,v)|\le a|\mathrm{\nabla }\widehat{𝔵}(u,v){|}^2+\frac{b}{{\beta }^2}$ für alle $w=u+iv\in {\mathrm{\Omega }}^{+}\cup {\mathrm{\Omega }}^{-}$,

wobei wir noch ${\mathrm{\Omega }}^{-}:=\{w\in ℂ:\bar{w}\in {\mathrm{\Omega }}^{+}\}$ gesetzt haben. Wir wählen nun $R=1$ fest und $\vartheta \in (0,1)$ beliebig. Wie in Hilfssatz 2 aus §2 schätzen wir dann die Energie

$\underset{B_{\vartheta }(w_0)}{\iint }|\mathrm{\nabla }\widehat{𝔵}(u,v){|}^{2}dudv$

ab.

2. Wir gehen nun über zur gespiegelten komplexen Ableitungsfunktion

(6) $𝔷(w):=\{\begin{array}{cc}i{\widehat{𝔵}}_w(w),& w\in \overline{B_1(w_0)\cap {ℂ}^{+}}\\ -i{\widehat{𝔵}}_{\bar{w}}(\bar{w}),& w\in \overline{B_1(w_0)}\cap {ℂ}^{-}\end{array}.$

Diese ist stetig in $\overline{B_1(w_0)}$ und genügt der DUGL

(7) $|{𝔷}_{\bar{w}}(w)|\le a|𝔷(w)|+\frac{b}{4{\beta }^2}$ für alle $w\in B_1(w_0)\setminus ℝ$.

Die Integraldarstellung von Pompeiu-Vekua aus Kapitel IV, §5, Satz 1 gilt dann auch für $𝔷$, d. h. wir haben

(8) $𝔷(w_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_{\vartheta \lambda }(w_0)}{\int }\frac{𝔷(w)}{w-w_0}dw-\frac{1}{\pi }\underset{B_{\vartheta \lambda }(w_0)}{\iint }\frac{{𝔷}_{\bar{w}}(w)}{w-w_0}dudv$

mit beliebigen $\vartheta ,\lambda \in (0,1)$. Zur Herleitung dieser Formel integriert man getrennt in ${ℂ}^{\pm }$; da $𝔷$ stetig auf $ℝ$ ist, heben sich die Kurvenintegrale auf der reellen Achse gegenseitig weg.
Es gibt nun ein $\lambda =\lambda (\vartheta )\in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$, so dass das Cauchyintegral von $𝔷$ wie folgt abgeschätzt werden kann:

(9) $\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_0)}{\int }\frac{𝔷(w)}{w-w_0}dw\right|\le \frac{c_1(a,b,M)}{\vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{b}{8{\beta }^2}+\frac{a}{2}\vartheta \underset{w\in B_{\vartheta }(w_0)}{\sup }|𝔷(w){|}^2$

mit der Konstante

$c_1(a,b,M):=\frac{8\sqrt{M^2+\frac{b}{8{\beta }^2}M}}{\sqrt{\log 4}\sqrt{1-aM}}.$

Wir ermitteln aus der DUGL (7) die Ungleichung

(10) $\left|\frac{1}{\pi }\underset{B_{\lambda \vartheta }(w_0)}{\int }\frac{{𝔷}_{\bar{w}}(w)}{w-w_0}dw\right|\le a\vartheta \underset{w\in B_{\vartheta }(w_0)}{\sup }|𝔷(w){|}^2+\frac{b}{4{\beta }^2}.$

3. Wegen

$|𝔷(w)|=|{\widehat{𝔵}}_w(w)|=|{𝔵}_{\zeta }\circ g(w)||g^{\prime }(w)|,w\in {ℂ}^{+}\cup ℝ$

entnehmen wir

(11) $\beta \le |g{\text{'}}_{\mu }(w)|\le \frac{1}{\beta }$ für alle $w\in {\mathrm{\Omega }}^{+}$ und alle $\mu \in [0,2\pi )$

die Ungleichung

(12) $\beta |𝔷(w)|\le \varphi (g(w))\le \frac{1}{\beta }|𝔷(w)|$ für alle $w\in \overline{B_{\vartheta }(w_0)\cap {ℂ}^{+}}$.

Aus (8)-(10) erhalten wir die dann die Abschätzung

$\varphi ({\zeta }_0)=\varphi (g(w_0))\le \frac{1}{\beta }|𝔷(w_0)|\le \frac{c_1(a,b,M)}{\beta \vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3b}{8{\beta }^3}+\frac{3a}{2\beta }\vartheta \underset{w\in B_{\vartheta }(w_0)}{\sup }|𝔷(w){|}^2$

$\le \frac{c_1(a,b,M)}{\beta \vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3b}{8{\beta }^3}+\frac{3a}{2{\beta }^3}\vartheta \underset{w\in \overline{B_{\vartheta }(w_0)\cap {ℂ}^{+}}}{\sup }\varphi (g(w){)}^2\le \frac{c_1(a,b,M)}{\beta \vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3b}{8{\beta }^3}+\frac{3a}{2{\beta }^3}\vartheta \varphi ({\zeta }_0{)}^2.$

Wir haben also die Ungleichung

(13) $\varphi ({\zeta }_0)\le \frac{c_1(a,b,M)}{\beta \vartheta \sqrt{-\log \vartheta }}+\frac{3b}{8{\beta }^3}+\frac{3a}{2{\beta }^3}\vartheta \varphi ({\zeta }_0{)}^2$ für alle $0<\vartheta <1$.

4. Wie in Teil 3 des Beweises von Satz 1 aus §2 ermittelt man aus (13) eine Konstante $C_1=C_1(a,b,M)$, so dass

(14) $\underset{\zeta \in E}{\sup }|\mathrm{\nabla }𝔵(\zeta )|=2\underset{\zeta \in E}{\sup }\varphi (\zeta )\le C_1(a,b,M)$

erfüllt ist. Wendet man auf ${𝔵}_w$ die in $\bar{E}$ gültige Darstellungsformel (8) an, so findet man wie im Beweis von Satz 2 aus §2 zu gegebenem $\alpha \in (0,1)$ eine Konstante $C_{(}a,b,M,\alpha )$, so dass

(15) $|\mathrm{\nabla }𝔵({\zeta }_1)-\mathrm{\nabla }𝔵({\zeta }_2)|\le C_2|{\zeta }_1-{\zeta }_2{|}^{\alpha }$ für alle ${\zeta }_1,{\zeta }_2\in \bar{E}$

gültig ist. Die Behauptung (2) entnehmen wir nun den Ungleichungen (14) und (15).