Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Ein Ausblick auf das Plateausche Problem

Satz 1 (Plateauproblem)

Das Variationsproblem

(1) $A(𝔵)\to Minimum,𝔵\in 𝒵(\mathrm{\Gamma })$

besitzt für $H\in [-\frac{1}{2M},+\frac{1}{2M}]$ eine Lösung $𝔵\in 𝒵(\mathrm{\Gamma })$, welche eine $H$-Fläche mit $\mathrm{\Gamma }$ als Berandung darstellt.

Beweis

Wir erklären

$a:=\underset{𝔵\in 𝒵(\mathrm{\Gamma })}{\inf }A(𝔵)\in (0,+\mathrm{\infty })$

und wählen eine Minimalfolge $\{{𝔵}_n{\}}_{n=1,2,\dots }\subset 𝒵(\mathrm{\Gamma })$ mit

(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }A({𝔵}_n)=a.$

Wir gehen über zu einer Folge $\{{𝔶}_n{\}}_{n=1,2,\dots }\subset 𝒵(\mathrm{\Gamma })$, die

(3) $\frac{1}{2}E({𝔶}_n)\le A({𝔵}_n)+\frac{1}{n},n=1,2,\dots$

erfüllt. Wir können die stetigen Randwerte von ${𝔶}_n$ eindeutig durch eine Lösung des Rellichschen Systems ergänzen,

(4) $\mathrm{\Delta }{𝔷}_n(u,v)=2H({𝔷}_n{)}_u\wedge ({𝔷}_n{)}_v(u,v)$ in $B$, ${𝔷}_n={𝔶}_n$ auf $\partial B$.

Es gilt die Ungleichung

(5) $\frac{1}{2}E({𝔷}_n)\le A({𝔵}_n)+\frac{1}{n},n=1,2,\dots$

Wegen

(6) $E(𝔵)\ge \frac{2}{3}D(𝔵)$ für alle $𝔵\in 𝒵(\mathrm{\Gamma })$

hat die Folge $\{{𝔷}_n{\}}_n$ ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Nach dem Courant-Lebesgue-Lemma sind die Randwerte ${𝔷}_n{|}_{\partial B},n=1,2,\dots$ gleichgradig stetig und wir können nach dem Jägerschen Maximumprinzip aus §1 zu einer auf $\bar{B}$ gleichmäßig konvergenten Teilfolge übergehen. Gemäß §2, Satz 2 finden wir eine Grenzfunktion $𝔷(u,v)\in 𝒵(\mathrm{\Gamma })$, welche

(7) $\mathrm{\Delta }𝔷(u,v)=2H{𝔷}_u\wedge {𝔷}_v$ in $B$

genügt. Aus (5) erhalten wir wegen der Konvergenz in $C^1(B)$ die Ungleichung

(8) $a\le \frac{1}{2}E(𝔷)\le a\le A(𝔷)$

und somit $A(𝔷)=\frac{1}{2}E(𝔷)$. Also ist $𝔷$ konform parametrisiert und bildet eine $H$-Fläche.

q.e.d.