Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Dirichletproblem für nichtlineare elliptische Systeme

Hilfssatz 1 (A-Priori-Abschätzung)

Seien $\alpha \in (0,1)$ und $a\in [0,+\mathrm{\infty }),M\in (0,+\mathrm{\infty })$ mit $2aM<1$ gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C_1(a,M,\alpha )$, so dass für alle Lösungen des Problems

(1) $\begin{array}{c}𝔷=𝔷(u,v)\in C^2(B)\cap C^1(\bar{B}),\\ \mathrm{\Delta }𝔷(u,v)=𝔊(w,𝔷(w),\mathrm{\nabla }𝔷(w))f\ddot{u}rallew\in B,\\ 𝔷(w)=0f\ddot{u}rallew\in \partial B\end{array}$

die folgende Abschätzung gilt:

$\Vert 𝔷{\Vert }_{C^{1+\alpha }(\bar{B},{ℝ}^n)}\le C_1(a,M,\alpha ).$