Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 3

Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni

Ziel der Modellierung

Kalbender Gletscher

• Übertragung auf klimatisch gesellschaftliches Thema
• Modellierung in größeren Maßstäben
• Abschätzung der Höhe einer Welle, die durch einen kalbenden Gletscher erzeugt wird
• Auswirkungen auf angrenzende Küstenregionen erkennen
• Schutzmaßnahmen ableiten (Deiche u.ä.)

Vorgehensweise

• Erstellung einer dem Maßstab angepassten Wellenfunktion
• Form des Gletscherbrockens spielt keine Rolle - nur Gewicht
• Festlegung des Brockens auf einen symmetrischen Zylinder (3D), in 2D ist dies ein Rechteck
• Volumen Zylinder ist identisch mit Volumen der "ersten" Welle
• Folgerung der Seitenlänge $b$ und $2b$ für das Rechteck & Einbeziehung des Faktors $a$ $\Rightarrow$ Abschätzung Gewicht
• obere Abschätzung der Welle: $e$-Funktion

Durchführung

• Volumen des Eisblockes, also das Produkt aus Gewicht und Dichte des Eisblockes $(0,92kg/d{m}^3)$ als obere Grenze$\Rightarrow$ $0,92\cdot g\ge \pi \cdot A^2$ mit $A=\underset{0}{\overset{a\pi }{\int }}\frac{a}{2}\cdot cos(\frac{x}{2a})$
• Rechteck $B$ (Gletscherbrocken) mit selber Fläche (also $A=B$) gilt: $\pi \cdot B^2=\pi \cdot A^2$
• Position des Rechtecks, sodass bei Rotation Zylinder entsteht

Wellenfunktion und Rechteck

Faktor b in Abhängigkeit des Gewichts ausrechnen

Es folgt: $0,92\cdot g\ge \pi \cdot A^2=\pi \cdot B^2=\pi \cdot (2b^2{)}^2$ (mit $b\ge 0$ )

$<=>\frac{0,92\cdot g}{\pi }=(2b^2{)}^2$

$<=>\sqrt{\frac{0,92\cdot g}{\pi }}=2b^2$

$<=>\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{0,92\cdot g}{\pi }}=b^2$

$<=>\sqrt{\frac{0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}=b^2$

$<=>\sqrt{\sqrt{\frac{0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b$

$<=>\sqrt[4]{\frac{0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}=b$

Suchen eines passenden Skalierungsfaktors a

• Anpassung der Funktion $f$, ohne Änderung der Fläche $A$

Es gilt: $A=\underset{0}{\overset{a\pi }{\int }}\frac{a}{2}\cdot cos(\frac{x}{2a})=2b^2=B$

Aufstellen der Hilfsfunktion

• Hilfsfunktion $g(x)=a\cdot cos(\frac{x}{a})$

$A_2=\underset{0}{\overset{\frac{a\pi }{2}}{\int }}g(x)dx=A_2=\underset{0}{\overset{\frac{a\pi }{2}}{\int }}a\cdot cos(\frac{x}{a})dx=\underset{0}{\overset{a\pi }{\int }}\frac{a}{2}\cdot cos(\frac{x}{2a})dx=A$

• $A_2$ ist von doppelter Amplitude, aber von halber Länge und $A_2=A$

Bestimmung des Skalierungsfaktors a

• analog zu Zyklus 2: $A_2=a^2\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}cos(x)dx=a^2\cdot 1=a^2$
• Darstellung der Beziehung der Flächen zueinander in GeoGebra Applet
• Es folgt:

$⟶A=A_2=a^2$

$⟶a^2=A=B=2b^2$

$<=>a=\sqrt{2}\cdot b$

$<=>b=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Bestimmung der Höhe der Welle

Sei $x:=$ Entfernung zum Festland in km.

• $h(x)=\frac{a}{2}\cdot e^{-(\frac{x}{2a}{)}^2}$

Beispiel - Durchführung

• rechnerische Bestimmung der Höhe der Welle
• geg.: Masse $g=1.000.000.000kg$

$\Rightarrow$ $b=\sqrt[4]{\frac{0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}=92,50⟶a=130,81$

• einsetzen von a in $h(x)=\frac{a}{2}\cdot e^{-(\frac{x}{2a}{)}^2}$

• Für eine Küste in $1500km$ Entfernung, ist die Welle $3,46m$ hoch.

Bewertung

Die Modellierung lässt außer Acht:

• Schmelzwasser
• Anstieg der Wassertemperatur
• Übertragung des Zyklus 2 auf 3 nicht fehlerfrei (wg. Übertragung auf große Maßstäbe)
• Präzisierung durch Forschung zu Wellenausbreitung und deren Abflachung sowie deren Frequenz

Optimierung

• interaktive Landkarte (Auswirkungen Klimawandel auf Küsten)
• es gibt Karten, welche Gebiete rot markieren, deren Wahrscheinlichkeit steigt, von Hochwasser oder Überschwemmungen in den nächsten Jahren heimgesucht zu werden