Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 1

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe I

Ziel der Modellierung

• näherungsweise Bestimmung des Gewichts eines Elefanten mithilfe von Volumenberechnung
• Bestimmung der Wasserverdrängung eines Elefanten beim Baden mithilfe seines Volumens

Vorgehensweise

• Bestimmung des Gesamtgewichts eines Elefanten durch Zerlegung in einzelne Körperteile
• Volumenbestimmung der Körperteile mithilfe von verschiedenen geometrischen Körpern
• Annäherung der geometrischen Formen:
  • Rumpf und Kopf des Elefanten: Ellipsoid
  • Beine: Zylinder
  • Ohr: Annahme als Dreieck (Fläche), da sich stellenweise die Volumina der geometrischen Volumina überschneiden
  • Rüssel: Zylinder und Kegel
  • Schwanz: Zylinder
• Erstellung eines 3D-Modells

Durchführung

Bestimmung des Gesamtgewichts eines Elefanten

• Möglichkeit 1: Größenangaben des Elefanten, wie bspw. Höhe der Beine, durch Biologieunterricht in Sekundarstufe I oder Recherche im Internet
• Möglichkeit 2: Modellierung eines Elefanten mithilfe JSON 3D Editor for Aframe

Volumenbestimmung des Rumpfes mit JSON 3D Editor for Aframe

• Länge Rumpf: $l=2\cdot 1,25$ $\Rightarrow$ $b=\frac{1}{2}\cdot l=1,25$

• Breite Rumpf: $b=2\cdot 2$ $\Rightarrow$ $a=\frac{1}{2}\cdot b=2$

• Höhe Rumpf: $h=2\cdot 1,25$ $\Rightarrow$ $c=\frac{1}{2}\cdot h=1,25$

• $V_{Rumpf}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 1,25\cdot 2\cdot 1,25=13,0900$

Erstellung eines Elefanten in JSON 3D Editor for AFrame

• analoges Vorgehen für die weiteren Körperteile

Volumenbestimmung des Kopfes

• Länge Kopf: $l=2\cdot 0,75$ $\Rightarrow$ $b=\frac{1}{2}\cdot l=0,75$

• Breite Kopf: $b=2\cdot 0,75$ $\Rightarrow$ $a=\frac{1}{2}\cdot b=0,75$

• Höhe Kopf: $h=2\cdot 0,85$ $\Rightarrow$ $c=\frac{1}{2}\cdot h=0,85$

• $V_{Kopf}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 0,75\cdot 0,75\cdot 0,85=2,0028$

Volumenbestimmung der Beine

• Breite Bein: $b=2\cdot 0,3$ $\Rightarrow$ $r=\frac{1}{2}\cdot b=0,3$

• Höhe Bein: $h=1,5$

• Volumen Bein: $V_{Bein}=0,3^2\cdot \pi \cdot 1,5=0,4241$

• $V_{Beine}=4\cdot (0,3^2\cdot \pi \cdot 1,5)=4\cdot 0,4241=1,6964$

Volumenbestimmung der Ohren

• Ohren werden in JSON 3D Editor for AFrame jeweils als Fläche angenommen
• Volumen eines Ohres: $V_{Ohr}=0$

Volumenbestimmung des Rüssels

• zwei Rüsselteile: unterer Teil des Rüssels (Zylinder) und oberer Teil des Rüssels (Kegel)

• Breite Rüssel (unten): $b=2\cdot 0,1$ $\Rightarrow$ $r=\frac{1}{2}\cdot b=0,1$

• Höhe Rüssel (unten): $h=2$

• $V_{R\ddot{u}ssel(unten)}=0,1^2\cdot \pi \cdot 2=0,06$

• Breite Rüssel (oben): $b=2\cdot 0,1$ $\Rightarrow$ $r=\frac{1}{2}\cdot b=0,1$

• Höhe Rüssel (oben): $h=0,2$

• $V_{R\ddot{u}ssel(oben)}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 0,1^2\cdot 0,2=0,0021$

• $V_{R\ddot{u}ssel(gesamt)}=0,06+0,0021=0,0621$

Volumenbestimmung des Schwanzes

• Breite Schwanz: $b=2\cdot 0,05$ $\Rightarrow$ $r=\frac{1}{2}\cdot b=0,05$

• Höhe Schwanz: $h=1,5$

• $V_{Schwanz}=0,05^2\cdot \pi \cdot 1,5=0,0118$

Gesamtvolumen des Elefanten

• Volumina aller Körperteile addieren sich zum Gesamtvolumen

• $V_{Gesamt}=V_{Rumpf}+V_{Kopf}+V_{Beine}+V_{R\ddot{u}ssel(gesamt)}+V_{Schwanz}$
  $=16,8631\simeq 16,86$

Problematik der erhaltenen Zahl

• Gesamtvolumen in Längenheiten (LE³)

• geg.: Fußdurchmesser $d=30cm$, Modellfußdurchmesser $m=0,6LE$
• $50cm=1LE$
  $\iff 128,21cm=2,56LE$
  $\iff 2107490,86c{m}^3=16,86L{E}^3$

• $V=(d\cdot \frac{5}{3}\cdot \sqrt[3]{16,86}{)}^3$
  • aufgestellte Formel gilt nur für $d=30cm$, da der lineare Zusammenhang des erhaltenen Ergebnisses von ursprünglicher Funktion abweicht

Bewertung

• Unterteilung des Elefanten in geometrische Körper führt zu größeren Abweichungen
• Bestimmung der Werte für Radien, Höhe etc. führt ebenfalls zu Abweichungen
• allgemeine Formel für das Gesamtvolumen des Elefanten nur in Abhängigkeit seines Fußdurchmessers

Optimierung

Bestimmung des Volumens der Beine in Abhängigkeit von d

$d_{\text{Fuß Modell}}=0,6LE\Rightarrow r_{\text{Fuß Modell}}=0,3LE$

$\Rightarrow A_{\text{Fuß in Abhängigkeit von d}}=\pi \cdot (\frac{1}{2}d{)}^2$

$⟹V_{\text{Bein}}=A_{\text{Fuß}}\cdot 1,5\iff \pi \cdot (\frac{1}{2}d{)}^2\cdot (\frac{5}{2}\cdot d)$

$⟹V_{\text{4Beine}}=4\cdot \pi \cdot (\frac{1}{2}d{)}^2\cdot (\frac{5}{2}\cdot d)=\frac{5}{2}\cdot \pi \cdot d^3$

Bestimmung des Volumens des Körpers in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Volumens des Kopfes in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Volumens des Rüssels in Abhängigkeit von d

Bestimmung des Gesamtvolumens in Abhängigkeit von d

Überprüfung auf Richtigkeit mithilfe von Calc