Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Implementation - Sek II

Implementation Sek II

Auswahl der Software

• Tabellenkalkulation: Berechnung der Regressionsgeraden
• Geogebra: Darstellung der Regression(sgeraden), Darstellung der logistischen Wachstumsfunktionen

Hintergrund

• durch Lösen der Differentialgleichung $f^{\prime }(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ ergibt sich für das logistische Wachstum
• $f(t)=\frac{f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}$

Modellierung durch zwei Werte

Borkenkäfer

• Wachstumskonstante k berechnen:
• Für die Borkenkäfer gilt:

• $S_b=(\frac{65520000\cdot 200}{4})=3276000000$, da 200 Borkenkäfer, um sich weiter vermehren zu können, 4 Fichten benötigen

• $b(0)=102080$

• $b(1)=204160$

• Mit der Wachstumsformel bei logistischem Wachstum $f(t)=\frac{f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}$

ergibt sich durch die Modellierung durch zwei Werte

$b(1)=\frac{b(0)\cdot S_b}{b(0)+(S_b-b(0))\cdot e^{-S_{b}k\cdot 1}}$

• ⇒ $204160=\frac{102080\cdot 3276000000}{102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot k}}$
• durch Umformungen erhalten wir:

• ⇒ $k\approx 2,11593\cdot 10^{-10}$

• $b(t)=\frac{102080\cdot 3276000000}{102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}$

Fichten

• $F=65520000$

• Es ergibt sich in Abhängigkeit zur Funktion der Borkenkäfer also folgende Funktionsvorschrift:

• $s(t)=\frac{b(t)}{200}$

• $f(t)=65520000-s(t)$

• $f(t)=65520000-\frac{\frac{102080\cdot 3276000000}{102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}}{200}$

• Obere Schranke für die Anzahl geschädigter Fichten von $S_s=16380000=\frac{S_b}{200}$, da das der Anzahl der Fichten entspricht, die Borkenkäfer töten, wenn sie ihre Sättigungsgrenze erreichen

• Untere Schranke der überlebenden Fichten $S_f=65520000-16380000=49140000$

Modellierung durch mehrere Werte

• $f(t)=\frac{f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}$ | Kehrwert bilden

• ⇒ $\frac{1}{f(t)}=\frac{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}{f(0)\cdot S}$
• durch Umformungen erhalten wir:
• ⇒ $ln(\frac{1}{f(t)}-\frac{1}{S})=ln(\frac{(S-f(0))}{f(0)\cdot S})-S\cdot k\cdot t$

→ Geradengleichung $y=m\cdot x+c$

• mit $y=ln(\frac{1}{f(t)}-\frac{1}{S});m=-S\cdot k;c=ln(\frac{(S-f(0))}{f(0)\cdot S})$

Borkenkäfer

Da S_b = 3276000000 bekannt ist und für Bestimmung des Parameters k die Werte des exponentiellen Wachstums verwendet werden sollen, ergeben sich folgende Daten:

Abbildung: Anzahl Borkenkäfer

• Anmerkung: Nur Werte bis zum Jahr 14, da im Jahr 15 b(t)>S_b damit der Wert, von dem ln berechnet werden soll negativ

Lineare Regression

• $y=-0,72\cdot t-11,42$
• Mit $m=-S\cdot k$ ⇒ $k=-\frac{m}{S}$ ergibt sich $k\approx 2,20\cdot 10^{-10}$

• Durch weitere Umformungen ergibt sich ein neues, der Ausgleichsgerade angepasstes, $b(0)$ mit
• $b(0)=\frac{S_b}{(1+S_b\cdot e^c)}\approx 91123,60$
• und damit die Funktionsgleichung:
• $b(t)=\frac{b(0)\cdot S_b}{b(0)+(S_b-b(0))\cdot e^{-S_{b}kt}}=$
• $\frac{91123,60\cdot 3276000000}{91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot (2,20\cdot 10^{-10})\cdot t}}$

Gerade zu lineare Regression

• Ausgleichsgerade: $y=-0,72\cdot t-11,42$

Abbildung: Lineare Regression

Fichten

$f(t)=65520000-\frac{\frac{91123,60\cdot 3276000000}{91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}}}{200}$

Funktionen zur Modellierung

Borkenkäfer

Die Anzahl der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Sättigungsgrenze

• Modellierung durch 2 Werte (blau) $b_1(t)=\frac{102080\cdot 3276000000}{102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}$

• Modellierung durch mehrere Werte (grün) $b_2(t)=\frac{91123,60\cdot 3276000000}{91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}}$

Abbildung: Beschränktes Wachstum der Borkenkäferpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy

Fichten

Anzahl der Fichten zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Borkenkäferanzahl

• Modellierung durch zwei Werte (pink) $f_1(t)=65520000-\frac{\frac{102080\cdot 3276000000}{102080+(3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot 10^{-10}\cdot t}}}{200}$

• Modellierung durch mehrere Werte (orange) $f_2(t)=65520000-\frac{\frac{91123,60\cdot 3276000000}{91123,60+(3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot 10^{-10}\cdot t}}}{200}$

Abbildung: Beschränkte Abnahme der Fichtenpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy

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