Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Implementation - Sek I

Implementation Sek I

Auswahl der Software

• Tabellenkalkulation: rekursive Berechnungen der Borkenkäfer- und Fichtenanzahl
• Geogebra: Darstellung des exponentiellen Wachstums der Borkenkäferpopulation/Fichtenschädigungen

Borkenkäferpopulation

• Punktinformationen über Borkenkäferpopulation in RLP 2021
• Annahme: die Anzahl der Borkenkäfer in RLP entspricht der Gesamtanzahl der gezählten Borkenkäfer an den Fangstationen

Abbildung: Anzahl Borkenkäfer RLP

Fichtenpopulation

• Daten zu Fichten wurden verschiedenen Quellen entnommen

Abbildung: Fichtenbestände in RLP 2012

Erste Berechnungen

• Annahme 1: Borkenkäferanzahl verdoppelt sich jährlich
• Annahme 2: 200 Borkenkäfer töten eine Fichte (Jeder Käfer ist nur einmal an Tötung beteiligt)

• Rekursive mathematische Formel Anzahl Borkenkäfer (ab Jahr 1):
• $B(t)=B(t-1)\cdot 2$

B(t): Anzahl der Borkenkäfer in einem Jahr t

• Rekursive mathematische Formel Anzahl Fichten am Ende des Jahres(ab Jahr 0): $F(t)=F-\frac{B(t)}{200}$

F: Anzahl Fichten zu Beginn des ersten Berechnungsjahres

F(t): Anzahl Fichten in Jahr t

Tabelle mit Ergebnissen der ersten Berechnung

Abbildung: Entwicklung Fichten- und Borkenkäferpopulation

Exponentielles Wachstum der Borkenkäferpopulation

$b(t)=102080\cdot 2^t$

Abbildung: Exponentielles Wachstum der Borkenkäferpopulation https://www.geogebra.org/classic/dmnxuv3n

Exponentielles Wachstum geschädigter Fichten

• Funktion geschädigter Fichten: $s(t)=\frac{102080}{200}\cdot 2^t$

• Funktion überlebender Fichten: $f(t)=65520000-\frac{102080}{200}\cdot 2^t$

Abbildung: Exponentielles Wachstum der Fichtenschädigungen und die sich daraus ergebende Funktion für die überlebenden Fichten https://www.geogebra.org/classic/uwyfryfk

Differenzenfolge Borkenkäfer

• $d_n=f_{n+1}-f_n$

• $b(t)=102080\cdot 2^t$

• $b^{\prime }(t)=102080\cdot 2^t$

Abbildung: Differenzenfolge Borkenkäfer

Differenzenfolge geschädigte Fichten

• $s(t)=\frac{102080}{200}\cdot 2^t$
• $s^{\prime }(t)=\frac{102080}{200}\cdot 2^t$

Abbildung: Differenzenfolge geschädigte Fichten

Differenzenfolge überlebende Fichten

• $f(t)=65520000-\frac{102080}{200}\cdot 2^t$
• $f^{\prime }(t)=-\frac{102080}{200}\cdot 2^t$

Abbildung: Differenzenfolge überlebende Fichten

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