Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 3

Modellierungszyklus 3 - Uni-Niveau

Ziel des Modellierungszyklus

• Funktion $f(x)=\frac{a}{1+(\frac{x}{s}{)}^2}$ optimieren
• Berücksichtigung aller Datenpunkte
• Bisherige Wahl der Parameter: a = 95,3 und s = 73,5
• Wahl der Parameter, sodass der Fehler der Funktion minimal wird
• Werkzeug: Gradientenabstiegsverfahren

Fehlerfunktion und Partielle Ableitungen

• Fehlerfunktion: $E(a,s):=1/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_k,a,s)-y_k{)}^2$.
• E(a,s) berechnet das Mittel der quadratischen Abweichungen der Prognose und der Daten
• Alle 31 Datenpunkte werden in der Fehlerfunktion berücksichtigt

• Zur Bestimmung des Gradienten werden die partiellen Ableitungen benötigt:

• partielle Ableitung nach a: $\frac{\partial E}{\partial a}(x,a,s):=2/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_k,a,s)-y_k)*\frac{1}{(\frac{x_k^2}{s^2}+1)}$

• partielle Ableitung nach s: $\frac{\partial E}{\partial s}(x,a,s):=2/31*\sum _{k=0}^{30}(f(x_k,a,s)-y_k)*\frac{2*a*x^2}{s^3*(\frac{x_k^2}{s^2}+1{)}^2}$

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (1)

• Ziel: Minimum der Fehlerfunktion E(a,s) finden
• 1.Schritt: Startpunkt $\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ s_0\end{array}\right)$ und Schrittweite wählen
• 2.Schritt: Fehler mit den Startwerten $\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ s_0\end{array}\right)$ berechnen
• 3.Schritt: Gradienten an der Stelle $\left(\begin{array}{c}{a}_j\\ s_j\end{array}\right)$ mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen
• 4.Schritt: Länge des Gradienten $\left(\begin{array}{c}{a}_j\\ s_j\end{array}\right)$ bestimmen

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (2)

• 5.Schritt: $\left(\begin{array}{c}{a}_j\\ s_j\end{array}\right)$ in entgegengesetzte Richtung des Gradienten verschieben und auf Schrittweite normieren
• 6.Schritt: Überprüfen, ob sich der Fehler verringert hat
• 7.Schritt: Falls sich der Fehler nicht verringert hat: Schrittweite halbieren und zurück zu Schritt 5 gehen
• 8.Schritt: Schritte 3 bis 7 beliebig wiederholen

Durchführung des Gradientenabstiegsverfahren

• Umsetzung mit LibreOffice Calc
• Startwerte: $a_0=95.3,s_0=73.5$ (Werte aus vorherigen Zyklen)

Konvergenz des Gradientenabstiegsverfahrens

• Verfahren konvergiert nach vielen Iterationsschritten gegen folgende Werte:

Abbildung 10: Gradientenabstiegsverfahren Tabelle 2

Ergebnisse (1)

• Deutliche Minimierung des Fehlers E(a,s)
• Mittlerer quadratischer Fehler mit Ausgangswerten: 7,57
• Mittlerer quadratischer Fehler am Ende des Verfahrens: 3,65
• Konvergenz für die Werte a ≈ 92,81 und s ≈ 101,91

Ergebnisse (2)

• Verbesserte Prognosefunktion: $f(x)=\frac{92,81}{1+(\frac{x}{101,91}{)}^2}$

• Grün: Optimierte Prognosefunktion f(x)
• Grau: Prognosefunktion aus Zyklus 2

Bewertung und Optimierung (1)

• Deutliche Optimierung der Prognosefunktion
• Fehler der Prognose hat sich mehr als halbiert
• Auszug einiger Prognosewerte:

2025: ca. 83,51 kg/Kopf;

2030: ca. 80,95 kg/Kopf;

2035: ca. 78,23 kg/Kopf;

2040: ca. 75,38 kg/Kopf;

2045: ca. 72,46 kg/Kopf;

2050: ca. 69,51 kg/Kopf;

2060: ca. 63,64 kg/Kopf

Bewertung und Optimierung (2)

• Werte erscheinen auf den ersten Blick realistisch
• Bestehendes Problem: Fleischkonsum laut Prognose in den nächsten Jahren wieder leicht erhöht (siehe Prognose 2025: 83,51 kg/Kopf und gemessener Wert 2021: 81,7 kg/Kopf)
• Besonders für weiter in der Zukunft liegende Werte aber gut nutzbar
• Mit den vorliegenden Daten diese Prognosefunktion aktuell nicht optimierbar
• Für noch genauere Prognose anderer Funktionstyp nötig

Ausblick

• Aber: Prognose kann in Zukunft mit weiteren Daten gefüttert werden
• Dann Verbesserung dieser Prognosefunktion möglich
• Gradientenabstiegsverfahren liefert dann neue Werte für Parameter a und s