Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien/Mathematische Grundlagen Zyklus 3

Mathematische Grundlagen für Zyklus 3

Lagrange Interpolation

• Stützpunkte x_i, y_i i = 1,...,n sind gegeben

• geeignete Kurve für beliebige Funktionswerte zwischen kleinster und größter Stützstelle

• Newton-Interpolation: erfolgt schrittweise ⇒ für unsere Modellierung zu aufwendig

• Lagrange-Interpolation: direkte Berechnung des langen Interpolationspolynom

→ Interpolationsploynom = Summe der einzelnen Langrangepolynomen

• Formel für das Lagrangepolynom:

${\ell }_i(x)=$$\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{x-x_0}{x_i-x_0}\cdots \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\cdot \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\cdots \frac{x-x_n}{x_i-x_n}$,

• Formel für das Interpolationspolynom:

$P(x)=$$\sum _{i=0}^n{f}_i{\ell }_i\left(x\right)$

Aufbau von Matrizen

• Matrizen = eine rechteckige, geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente einer Matrix = Koeffizienten

→ m x n Matrix = m Zeilen und n Spalten

→ m x n Matrix hat Dimension m x n

• besondere Matrizen:

→ Quadratische Matrix: m=n

→ Nullmatrix: alle Koeffizienten = 0.

• allgemeine Formel: $A=$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

Aufbau von Vektoren

• Vektoren = eine geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente = Komponenten

→ nur eine Spalte und m Zeilen

→ m-dimensionaler Vektor = m Komponenten

• besondere Vektoren:

→ Nullvektor: alle Komponenten = 0

→ Vektor = Spezialfall von Matrizen

• allgemeine Formel: $x=$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)$

Rechnen mit einem Skalar

• Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar:

→ jede Komponente des Vektors wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$x\ast \lambda =$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\ast \lambda \\ ⋮\\ x_m\ast \lambda \end{array}\right)$

• Skalar mal Matrix:

→ jedes Element von A wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$\lambda \ast A=$$\left(\begin{array}{ccc}\lambda \ast a_{11}& \cdots & \lambda \ast a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda \ast a_{m1}& \cdots & \lambda \ast a_{mn}\end{array}\right)$

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

1. Schritt

• Matrix mal Vektor

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl der Matrix mit Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Einträgen des Vektors multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erste Komponente

$A\ast x=$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ ⋮\end{array}\right)$

2. Schritt

→ zweite Zeile von Matrix A: Rechnung der zweiten Komponente analog

$A\ast x=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ a_{21}\ast x_1+a_{22}\ast x_2+\cdots +a_{2n}\ast x_m\\ ⋮\end{array}\right)$

→ Wiederholung dieser Rechnung bis zum Ergebnisvektor:

$A\ast x=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ a_{21}\ast x_1+a_{22}\ast x_2+\cdots +a_{2n}\ast x_m\\ ⋮\\ a_{m1}\ast x_1+a_{m2}\ast x_2+\cdots +a_{mn}\ast x_m\end{array}\right)$

Rechnen mit Matrizen

1. Schritt

• Matrix mal Matrix

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl Matrix A mit Zeilenzahl Matrix B übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Spalteneinträgen der Matrix B multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erster Koeffizient

$A\ast B=$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& (\ast )& \cdots \\ ⋮& ⋮\end{array}\right)$

2. Schritt

→ nächster Koeffizienten der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte: erste Zeile von A und zweite Spalte von B werden multipliziert

Bilden der Summe der Multiplikationen

$A\ast B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$

→ Weitere Koeffizienten der ersten Zeile: Rechnung analog

$A\ast B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots & a_{11}\ast b_{1n}+a_{12}\ast b_{2n}+\cdots +a_{1n}\ast b_{mn}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$

3. Schritt

→ Dies wird für jede weitere Zeile wiederholt bis das Matrizenprodukt A*B die Ergebnismatrix ergibt.

$A\ast B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots & a_{11}\ast b_{1n}+a_{12}\ast b_{2n}+\cdots +a_{1n}\ast b_{mn}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}\ast b_{11}+a_{m2}\ast b_{21}+\cdots +a_{mn}\ast b_{m1}& a_{m1}\ast b_{12}+a_{m2}\ast b_{22}+\cdots +a_{mn}\ast b_{m2}& \cdots & a_{m1}\ast b_{1n}+a_{m2}\ast b_{2n}+\cdots +a_{mn}\ast b_{mn}\end{array}\right)$

Summenzeichen

• Addition von mehreren Zahlen = $\Sigma$ (Sigma)

• der Laufindex k: Variable, über die die Summe läuft

• der Startwert i: kleinster Wert des Laufindex k, die untere Grenze

• der Endwert n: größter Wert des Laufindex k, die obere Grenze

• allgemeine Formel: $\sum _{k=i}^n(a_k=a_1+a_2+\cdot +a_n)$

• Sprich: Die Summe über $a_k$ von k=i bis n.

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