Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien/Mathematische Grundlagen Zyklus 2

Mathematische Grundlagen für Zyklus 2

Aufbau von Matrizen

• Matrizen = eine rechteckige, geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente einer Matrix = Koeffizienten

→ m x n Matrix = m Zeilen und n Spalten

→ m x n Matrix hat Dimension m x n

Besondere Matrizen

• Quadratische Matrix: m=n

• Nullmatrix: alle Koeffizienten = 0

Allgemeine Formel

$A=$ $\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

Aufbau von Vektoren

• Vektoren = eine geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente = Komponenten

→ nur eine Spalte und m Zeilen

→ m-dimensionaler Vektor = m Komponenten

Besondere Vektoren

→ Nullvektor: alle Komponenten = 0

→ Vektor = Spezialfall von Matrizen

Allgemeine Formel

$x=$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)$

Rechnen mit einem Skalar

• Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar:

→ jede Komponente des Vektors wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$x\ast \lambda =$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\ast \lambda \\ ⋮\\ x_m\ast \lambda \end{array}\right)$

• Skalar mal Matrix:

→ jedes Element von A wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$\lambda \ast A=$$\left(\begin{array}{ccc}\lambda \ast a_{11}& \cdots & \lambda \ast a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda \ast a_{m1}& \cdots & \lambda \ast a_{mn}\end{array}\right)$

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Matrix mal Vektor

• 1. Schritt

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl der Matrix mit Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Einträgen des Vektors multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erste Komponente

$A\ast x=$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ ⋮\end{array}\right)$

• 2. Schritt

→ zweite Zeile von Matrix A: Rechnung der zweiten Komponente analog

$A\ast x=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ a_{21}\ast x_1+a_{22}\ast x_2+\cdots +a_{2n}\ast x_m\\ ⋮\end{array}\right)$

→ Wiederholung dieser Rechnung bis zum Ergebnisvektor:

$A\ast x=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\ast x_1+a_{12}\ast x_2+\cdots +a_{1n}\ast x_m\\ a_{21}\ast x_1+a_{22}\ast x_2+\cdots +a_{2n}\ast x_m\\ ⋮\\ a_{m1}\ast x_1+a_{m2}\ast x_2+\cdots +a_{mn}\ast x_m\end{array}\right)$

Rechnen mit Matrizen

Matrix mal Matrix

• 1.Schritt

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl Matrix A mit Zeilenzahl Matrix B übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Spalteneinträgen der Matrix B multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erster Koeffizient

$A\ast B=$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& (\ast )& \cdots \\ ⋮& ⋮\end{array}\right)$

• 2.Schritt

→ nächster Koeffizienten der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte: erste Zeile von A und zweite Spalte von B werden multipliziert

Bilden der Summe der Multiplikationen

$A\ast B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$

→ Weitere Koeffizienten der ersten Zeile: Rechnung analog

$A\ast B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots & a_{11}\ast b_{1n}+a_{12}\ast b_{2n}+\cdots +a_{1n}\ast b_{mn}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$

• 3.Schritt

→ Dies wird für jede weitere Zeile wiederholt bis das Matrizenprodukt A*B die Ergebnismatrix ergibt.

$A\ast B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m1}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+\cdots +a_{1n}\ast b_{m2}& \cdots & a_{11}\ast b_{1n}+a_{12}\ast b_{2n}+\cdots +a_{1n}\ast b_{mn}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}\ast b_{11}+a_{m2}\ast b_{21}+\cdots +a_{mn}\ast b_{m1}& a_{m1}\ast b_{12}+a_{m2}\ast b_{22}+\cdots +a_{mn}\ast b_{m2}& \cdots & a_{m1}\ast b_{1n}+a_{m2}\ast b_{2n}+\cdots +a_{mn}\ast b_{mn}\end{array}\right)$

Summenzeichen

• Addition von mehreren Zahlen = $\Sigma$ (Sigma)

• der Laufindex k: Variable, über die die Summe läuft

• der Startwert i: kleinster Wert des Laufindex k, die untere Grenze

• der Endwert n: größter Wert des Laufindex k, die obere Grenze

• allgemeine Formel: $\sum _{k=i}^n(a_k=a_1+a_2+\cdot +a_n)$

• Sprich: Die Summe über $a_k$ von k=i bis n.

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