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Mathematische Theorie: Sekundarstufe II

Vektorraum

Sei $K$ ein Körper. Eine Menge $V$ zusammen mit zwei Verknüpfungen

$+:V\times V\to V$ (Vektoraddition)

$\bullet :K\times V\to V$ (Skalarmultiplikation)

bildet einen Vektorraum über K, wenn für alle $x,y\in V$ und für alle $\lambda ,\mu \in K$ folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $(V,+)$ ist kommutative Gruppe
2. $\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ und $x\in V:(\lambda +\mu )\cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot x$
3. $\mathrm{\forall }\lambda \in K$ und $x,y\in V:\lambda \cdot (x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y$
4. $\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ und $x\in V:(\lambda \cdot \mu )\cdot x=\lambda \cdot (\mu \cdot x)$
5. $\mathrm{\forall }x\in V:1\cdot x=x$

Ein relevantes Beispiel für einen Vektorraum ist der sogenannte Koordinatenraum. Sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb{N}$. Die betrachtete Menge

$K^n=K\times ...\times K=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)|x_1,...,x_n\in K\}$

repräsentiert alle geordneten n-Tupel in $K$.

Im Fall $K=ℝ$ und $n=2$ entspricht dies der reellen Ebene.

Linearkombination und Konvexkombination

Eine Konvexkombination ist eine spezielle Linearkombination von Punkten im reellen Vektrorraum. Hierbei werden die bereits vorhandenen Punkte mithilfe der Konvexkombination verbunden. Man unterscheidet zwischen Konvexkombinationen 1., 2. und 3. Ordnung.

Definition

Es sei ein reeller Vektorraum $(V,+,\cdot ,ℝ)$ gegeben.
Man nennt eine Linearkombination $v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+...+{\lambda }_n{v}_n=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$ mit $v_i\in V$ wobei $i\in \{1,\dots ,n\}$ Konvexkombination wenn ...

• ... alle ${\lambda }_i\in [0,1]$ und
• ... $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$

Veranschaulichung in GeoGebra

Datei:Convex combination geogebra.webm

Differenzierbarkeit

Unter Differenzierbarkeit versteht man die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einem Punkt durch eine lineare Approximation darstellen zu lassen.

Eine Funktion $f$ ist in einem Punkt $x_0$ aus dem Definitionsbereich differenzierbar, wenn der beidseitige Grenzwert, der sogenannte Differenzenqoutient,

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

exisitiert.

Tangente

Die Tangente ist eine Gerade, welche eine Kurve bzw. den Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt. Die Gerade hat folgende Funktionsgleichung

$f(x)=m\cdot x+b$

mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$.

Winkelhalbierende

Seien A und B Geraden und O der Scheitelpunkt der Geraden A und B.
Die Winkelhalbierende P ist eine Halbgerade mit Ursprung im Scheitelpunkt. Die Halbgerade teilt das Winkelfeld zwischen den Geraden A und B in zwei deckungsgleiche Felder.

Winkelhalbierende