Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Erneuerbare Energien/Mathematische Grundlagen Sek II

Vektorraum

• Sei $K$ ein Körper
• Eine Menge $V$ zusammen mit zwei Verknüpfungen bildet einen Vektorraum über K, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind

Verknüpfungen

Vektoraddition $+:V\times V\to V$
Skalarmultiplikation $\bullet :K\times V\to V$

Eigenschaften

• $(V,+)$ ist kommutative Gruppe
• $\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ und $x\in V:(\lambda +\mu )\cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot x$
• $\mathrm{\forall }\lambda \in K$ und $x,y\in V:\lambda \cdot (x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y$
• $\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ und $x\in V:(\lambda \cdot \mu )\cdot x=\lambda \cdot (\mu \cdot x)$
• $\mathrm{\forall }x\in V:1\cdot x=x$

Koordinatenraum

• Beispiel für Vektorraum
• Sei $K$ ein Körper und $n\in \mathbb{N}$
• Die Menge der geordneten n-Tupel $K^n$ ist ein Vektorraum
• Fall $K=ℝ$ und $n=2$ ($\widehat{=}$ reellen Ebene)

Konvexkombination

• Eine Konvexkombination ist eine spezielle Linearkombination von Punkten im reellen Vektorraum
• Mittels Konvexkombination: Interpolation vorhandener Datenpunkte durch Polynome
• Zur Interpolation: Nutzung von Konvexkombinationen 1., 2. und 3. Ordnung

Definition

• reeller Vektorraum $(V,+,\cdot ,ℝ)$ gegeben
  
• Linearkombination $v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+...+{\lambda }_n{v}_n=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$ mit $v_i\in V$ wobei $i\in \{1,\dots ,n\}$ Konvexkombination wenn ...
  
• ... alle ${\lambda }_i\in [0,1]$ und
• ... $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$

Veranschaulichung in GeoGebra

Datei:Convex combination geogebra.webm

Differenzierbarkeit

• Differenzierbarkeit ist Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einem Punkt durch eine lineare Approximation darstellen zu lassen
• Differenzierbarkeit von Funktion $f$ in einem Punkt $x_0$ aus dem Definitionsbereich, wenn Differenzenquotient (beidseitiger Grenzwert) existiert
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
  
• Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle $x_0$ differenzierbar ist.

Tangente

• eine Gerade, welche eine Kurve bzw. den Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt
• Funktionsgleichung mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$

$f(x)=m\cdot x+b$

Winkelhalbierende

• Gegeben: Gerade a und b und Scheitelpunkt O
• Winkelhalbierende ist Halbgerade mit Ursprung im Scheitelpunkt
• Halbgerade teilt das Winkelfeld zwischen den Geraden a und b in zwei deckungsgleiche Felder

Winkelhalbierende

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