Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona und Motivation/Modellierungszyklus 2

Einleitung

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Optimierung von Zyklus 1

• Von linearer Interpolation zu glatter Interpolation
• Stückweise Interpolation (über Sinus)
• glätten der linearen Interpolation aus Zyklus 1

Zielgruppe

• Lehrkräfte

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Auf Vorwissen der SuS zurückgreifen
• Beispielsweise durch Fragestellungen
• SuS mit der Sinus Formel arbeiten und verschieben lassen
• Ähnlich zu Unterstufe, lin Fkt verschieben lassen

Mathematische Werkzeugeund benutzte Formeln

• Glättung der linearen Interpolation durch stückweise Interpolation über Sinus Kurve

Herangehensweise über Programm ("Ausprobieren")

• Punkte des Mittelwerts in Koordinatensystem eintragen
• Sinus Standard Funktion Hinzufügen
• So lange Schieben bis Verbindung vom ersten zum zweiten Punkt entsteht
• Vorteil: Schieben von Funktionen in Geogebra kennen SuS bereits
• Wenn Funktionsgraph gefunden dann an restlichen Stellen 0 setzen
• Wiederholen und so ensteht glattere Interpolation

• https://www.geogebra.org/classic/cqya3qgv

Mathematische Herleitung

• Über Ausprobieren sieht man groben Verlauf der Interpolation
• Parameter Stück für Stück herausfinden

• Zur Interpolation von $n$ Stützstellen $(x_j,y_j)$ mit $j=0,...,n$ definiere:

$g:[x_0;x_n]\to ℝ,g(x)=\sum _{j=0}^{n-1}{f}_j(x)$

• Die Funktion g interpoliert die Stützstellen

Herleitung über Sinus Kurve

• Dabei ist $f_j(x)$ über eine verschobene und gestreckte, beziehungsweise gestauchte Sinusfunktion definiert als:

$f_j:ℝ\to ℝ,f_j(x)=\{\begin{array}{ccc}\frac{y_{j+1}-y_j}{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{x_{j+1}-x_j}\cdot (x-\frac{x_{j+1}+x_j}{2}))+\frac{y_{j+1}+y_j}{2}& \text{wenn}& x_j\le x\le x_{j+1}\\ 0& \text{sonst}& \end{array}$

Beispiel

Für die Stützstellen $(x_0,y_0)=(0,-0.2)$ und $(x_1,y_1)=(1,3.9)$ ist

$f_0:ℝ\to ℝ,f_0(x)=\{\begin{array}{ccc}\frac{y_1-y_0}{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{x_1-x_0}\cdot (x-\frac{x_1+x_0}{2}))+\frac{y_1+y_0}{2}& \text{wenn}& x_0\le x\le x_1\\ 0& \text{sonst}& \end{array}$

$=\{\begin{array}{ccc}\frac{3.9-(-0.2)}{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{1-0}\cdot (x-\frac{1+0}{2}))+\frac{3.9+(-0.2)}{2}& \text{wenn}& 0\le x\le 1\\ 0& \text{sonst}& \end{array}$

$=\{\begin{array}{ccc}\frac{4.1}{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{1}\cdot (x-\frac{1}{2}))+\frac{3.7}{2}& \text{wenn}& 0\le x\le 1\\ 0& \text{sonst}& \end{array}$

Benutzte Programme

• Geogebra zur Implementierung der Funktion
• Man kann hier Funktion verschieben

Optimierung

• Hier nur mit den Mittelwerten gearbeitet
• ggf auch andere Stützstellen bei anderen Werten
• Verfahren finden um dies gut variieren zu können: Newton

Siehe auch

• Wiki2Reveal

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