Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 3 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema

Kurzvorstellung

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

• im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

• Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

• deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

⇒ relevantes Thema in der aktuellen Situation

Mathematische Aspekte

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

• Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
• Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
• Universität: mehrdimensionale Analysis
• verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Ablauf eines Modellierungszyklus

Modellierungszyklus auf Universitätsniveau

Einführung

• Ziel: Anordnung der Sitzplätze im Klassenzimmer in Abhängigkeit der Lüftungsqualität

⇒ neuer Schwerpunkt mit stärkerem Anwendungsbezug

Herleitung der Luftgütefunktion 1

• Lüftungsgütefunktion wird entsprechend der Vorgehensweise aus Modellierungszyklus 2 aufgestellt
• Betrachtung der Punkte der Form $P=(p_1,p_2,1.3)$
• Aufstellen von vier Geradengleichungen, die die Trägergeraden der Lüftungsstrecken sind
• Bestimmung der Lotfußpunkte des Punktes und der Geraden

Herleitung der Luftgütefunktion 2

• Der Abstand zwischen den Lotfußpunkten und dem beliebigen Raumpunkt wird ermittelt
• Außerdem wird ein Term berechnet, der den Abstand zwischen den Mittelpunkten der Fenster und $P$ darstellt.
• Abstände werden anschließend mithilfe einer Glockenkurve normiert und für jede Lüftungsstrecke addiert

$L_i=\frac{1}{1+{s_i}^2}$ und $L_{ges}=L_1+L_2+L_3+L_4$

Veranschaulichung der Vorgehensweise

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

Fallunterscheidung I

• Falls $L{F}_{2y}>7$ und $L{F}_{3y}\le 7$ und $L{F}_{4y}\le 7$:

$i(p_1,p_2):=\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{100\cdot {p_2}^2-840\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59100\cdot p_1+46089}}{10\cdot \sqrt{197}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{7}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{1300\cdot {p_2}^2+(6552-4480)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11916\cdot p_1+9477}}{6\cdot \sqrt{145}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{2900\cdot {p_2}^2+(9912-6720)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11964\cdot p_1+9693}}{2\cdot \sqrt{1705}}{)}^2}$

Fallunterscheidung II

• Falls $L{F}_{2y}>7$ und $L{F}_{3y}>7$ und $L{F}_{4y}\le 7$:

$j(p_1,p_2):=\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{100\cdot {p_2}^2-840\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59100\cdot p_1+46089}}{10\cdot \sqrt{197}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{7}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{11}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{2900\cdot {p_2}^2+(9912-6720)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11964\cdot p_1+9693}}{2\cdot \sqrt{1705}}{)}^2}$

Fallunterscheidung III

• Falls $L{F}_{2y}\le 7$ und $L{F}_{3y}>7$ und $L{F}_{4y}\le 7$:

$k(p_1,p_2):=\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{100\cdot {p_2}^2-840\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59100\cdot p_1+46089}}{10\cdot \sqrt{197}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{1700\cdot {p_2}^2+(15960-11200)\cdot p_1\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59340\cdot p_1+46593}}{10\cdot \sqrt{213}}{)}^2}+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{11}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{2900\cdot {p_2}^2+(9912-6720)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11964\cdot p_1+9693}}{2\cdot \sqrt{1705}}{)}^2}$

Fallunterscheidung III

• Falls $L{F}_{2y}>7$ und $L{F}_{3y}>7$ und $L{F}_{4y}>7$:

$l(p_1,p_2):=\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{100\cdot {p_2}^2-840\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59100\cdot p_1+46089}}{10\cdot \sqrt{197}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{7}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{11}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}$

$+\frac{1}{1+(\sqrt{(7-p_2{)}^2+(\frac{15}{2}-p_1{)}^2+0.039998{)}^2}}$

Fallunterscheidung IV

• Falls $L{F}_{2y}\le 7$ und $L{F}_{3y}\le 7$ und $L{F}_{4y}\le 7$:

$f(p_1,p_2):=\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{100\cdot {p_2}^2-840\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59100\cdot p_1+46089}}{10\cdot \sqrt{197}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{1700\cdot {p_2}^2+(15960-11200)\cdot p_1\cdot p_2+19700\cdot {p_1}^2-59340\cdot p_1+46593}}{10\cdot \sqrt{213}}{)}^2}+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{1300\cdot {p_2}^2+(6552-4480)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11916\cdot p_1+9477}}{6\cdot \sqrt{145}}{)}^2}$

$+\frac{1}{1+(\frac{\sqrt{2900\cdot {p_2}^2+(9912-6720)\cdot p_1\cdot p_2+3940\cdot {p_1}^2-11964\cdot p_1+9693}}{2\cdot \sqrt{1705}}{)}^2}$

Gesamtfunktion Lüftungsgüte

• Gesamtlüftungsgütefunktion $n$:

$n:[0,9]\times [0,7]\to ℝ,$

$n(p_1,p_2)=\{\begin{array}{cc}i(p_1,p_2)& L{F}_{2y}>7\text{ und }L{F}_{3y},L{F}_{4y}\le 7\\ j(p_1,p_2)& L{F}_{2y},L{F}_{3y}>7\text{ und }L{F}_{4y}\le 7\\ k(p_1,p_2)& L{F}_{2y}\le 7\text{ und }L{F}_{3y}>7\text{ und }L{F}_{4y}\le 7\\ l(p_1,p_2)& L{F}_{2y},L{F}_{3y},L{F}_{4y}>7\\ f(p_1,p_2)& \text{ sonst }& \end{array}$

Umsetzung in Maxima

Funktion n in Maxima

(%i33)n(p_1,p_2):=if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(i(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(j(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]≤7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]≤7)then(k(p_1,p_2))
          else if(LF_2(p_1,p_2)[2]>7 and LF_3(p_1,p_2)[2]>7 and LF_4(p_1,p_2)[2]>7)then(l(p_1,p_2))
      else(f(p_1,p_2));;

(%o33)n(p₁,p₂):=if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂≤7 and [LF₄]₂≤7) then i(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then j(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂≤7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂≤7) then k(p₁,p₂)
          else if [LF₂]₂>7 and [LF₃]₂>7 and [LF₄]₂>7) then l(p₁,p₂)
      else f(p₁,p₂)

Plot der Funktion

Plot der Lüftungsgütefunktion n auf der Höhe 1,3

Problem

• Funktion kann durch Fallunterscheidung in Maxima nicht problemlos integriert oder abgeleitet werden
• Lösung: Funktion $f$ als Näherung der Lüftungsgütefunktion
• $f$ entspricht Lüftungsgütefunktion, wenn nur das Lotfußpunktverfahren genutzt wird

⇒ $f$ ist durch fehlende Fallunterscheidung einfacher zu handhaben

• Unterschied zwischen $f$ und $n$ ist sehr gering:

$f(8.8,6.3)\approx 0.4603$ und

$n(8.8,6.3)\approx 0.4432$

⇒ Für die Praxis vernachlässigbar

Vergleich von f und n

Vergleich der Funktionen f und n (n ist die untere Funktion, f ist die obere Funktion)

Bestimmung des Mittelwertes

Ziel

• sinnvolle Unterschranke
• theoretisch frei wählbar
• Idee: Mittelwert als untere Schranke
• Weg: Integral geteilt durch Grundfläche des Raumes

Berechnung des Integrals

• Satz von Fubini, dann Riemann-Integral
• zuerst nach $p_1$ über $[0,9]$ integrieren, dann nach $p_2$ über $[0,7]$
• $I=\underset{0}{\overset{7}{\int }}\underset{0}{\overset{9}{\int }}f(p_1,p_2)d{p}_{2}d{p}_1=78,18$
• dann $I_2=\frac{I}{7\cdot 9}=\frac{78,18}{63}=1,24$

Berechnung des Integrals der Luftgüte-Funktion mit Maxima

$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\%}𝚒\mathrm{𝟹}\mathrm{𝟸}& & 𝚢\underset{\_}{}\mathrm{𝟷}\mathtt{:}𝚒𝚗𝚝𝚎𝚐𝚛𝚊𝚝𝚎\mathtt{(}𝚏\mathtt{(}𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{)},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},\mathrm{𝟶},\mathrm{𝟿}\mathtt{)};\\ & & & \text{Is}25p_2^2-210p_2+5366\text{positive or negative?}\text{positive};\\ & \mathtt{(}𝚢\underset{\_}{}\mathrm{𝟷}\mathtt{)}& & (5\sqrt{341}\mathrm{atan}\left(\frac{(1680\sqrt{341}{p}_2+2991\sqrt{341})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{17050p_2^2-143220p_2+3659612}\right)\\ & & & +5\sqrt{213}\mathrm{atan}\left(\frac{(560\sqrt{213}{p}_2+2967\sqrt{213})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{10650p_2^2-89460p_2+2285916}\right)\\ & & & +15\sqrt{29}\mathrm{atan}\left(\frac{(1120\sqrt{29}{p}_2+2979\sqrt{29})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{4350p_2^2-36540p_2+933684}\right)\\ & & & +5\sqrt{179}\mathrm{atan}\left(\frac{15\sqrt{179}{p}_2\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{50p_2^2-420p_2+10732}\right)\\ & & & )/\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}\\ & & & -(5\sqrt{341}\mathrm{atan}\left(\frac{(1680\sqrt{341}{p}_2-14739\sqrt{341})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{17050p_2^2-143220p_2+3659612}\right)\\ & & & +5\sqrt{213}\mathrm{atan}\left(\frac{(560\sqrt{213}{p}_2-14763\sqrt{213})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{10650p_2^2-89460p_2+2285916}\right)\\ & & & +15\sqrt{29}\mathrm{atan}\left(\frac{(1120\sqrt{29}{p}_2-14751\sqrt{29})\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{4350p_2^2-36540p_2+933684}\right)\\ & & & -5\sqrt{179}\mathrm{atan}\left(\frac{15\sqrt{179}{p}_2\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}}{50p_2^2-420p_2+10732}\right)\\ & & & )/\sqrt{25p_2^2-210p_2+5366}\\ & \mathrm{\%}𝚒\mathrm{𝟹}\mathrm{𝟹}& & 𝙸\mathtt{:}𝚛𝚘𝚖𝚋𝚎𝚛𝚐\mathtt{(}\mathtt{(}𝚢\underset{\_}{}\mathrm{𝟷}\mathtt{)},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸},\mathrm{𝟶},\mathrm{𝟽}\mathtt{)};\\ & \mathtt{(}𝙸\mathtt{)}& & 78.18442018225412\end{array}$

Plot mit Mittelwert

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe 1,3 und mit Mittelwert als Referenzwert

Wie positioniere ich die Schüler? - Gradientenaufstiegsverfahren

• mathematische Methode in mehrdimensionalen Räumen
• Schritte:

1. Bestimmung des Gradienten von einem Punkt $S$

2. Normierung des Gradienten

3. Addition des normierten Gradienten zu $S$ ergibt $S^{\prime }$

4. Funktionswert von $S^{\prime }$ sollte größer sein, als Funktionswert von $S$, falls nicht: Schrittweite verringern

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (I)

• In unserem Beispiel: Funktion $f$ des Typs $f(p_1,p_2):[0,9]$x$[0,7]\to ℝ$
• Bestimmung des Gradienten von einem Punkt $S=(x,y)$:$grad(x,y)=g(x,y)=(\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_1},\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_2})$
• Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs am Punkt $S=(x,y)$
• Normierung des Gradienten: $|(\tilde{g}(x,y))=1|$
• Addition des normierten Gradienten zu $S=(x,y)$ ergibt neuen Punkt $S^{\prime }$:

$S^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })=\tilde{g}(x,y)+(x,y)=((\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_1}{)}^2+(\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_2}{)}^2{)}^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)$

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 1

$\begin{array}{cc}& 𝚐\underset{\_}{}\mathrm{𝟷}\mathtt{:}𝚍𝚒𝚏𝚏\mathtt{(}𝚏\mathtt{(}𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{)},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},\mathrm{𝟷}\mathtt{)};\\ \\ & -\frac{-6720p_2+7880p_1-11964}{6820{(\frac{2900p_2^2+(9912-6720p_1)p_2+3940p_1^2-11964p_1+9693}{6820}+1)}^2}\\ & -\frac{-11200p_2+39400p_1-59340}{21300{(\frac{1700p_2^2+(15960-11200p_1)p_2+19700p_1^2-59340p_1+46593}{21300}+1)}^2}\\ & -\frac{-4480p_2+7880p_1-11916}{5220{(\frac{1300p_2^2+(6552-4480p_1)p_2+3940p_1^2-11916p_1+9477}{5220}+1)}^2}\\ & -\frac{39400p_1-59100}{19700{(\frac{100p_2^2+840p_2+19700p_1^2-59100p_1+46089}{19700}+1)}^2}\end{array}$

Gradienten Bestimmung durch Maxima Teil 2

$\begin{array}{cc}& 𝚐\mathtt{(}𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{)}\mathtt{:}\mathtt{=}\mathtt{[}𝚐\underset{\_}{}\mathrm{𝟷}\mathtt{(}𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{)},𝚐\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{(}𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟷},𝚙\underset{\_}{}\mathrm{𝟸}\mathtt{)}\mathtt{]};\\ & g(p_1,p_2):=[g_1(p_1,p_2),g_2(p_1,p_2)]\end{array}$

Gradientenaufstiegsverfahren durch Maxima

x: 9;
9

y: 5;
5

S: [x,y];
[9,5]

if(f(S[1],S[2])<I_2)
then(S: float((g(S[1],S[2] ·1/(sqrt(g(S[1],S[2]).g(S[1],S[2]))))+[S[1],S[2]]))
else(print("Punkt erreicht"), print(S));
Punkt erreicht
[6.58013094730602,6.772900652427504]
[6.58013094730602,6.772900652427504]

Gradientenaufstiegsverfahren am Beispiel (II)

• Funktionswert von $S^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ sollte größer sein, als der Funktionswert von $S=(x,y)$
• Falls nicht: Schrittlänge verringern (um z. B. $0,1$):

$S^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })=0,1\cdot ((\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_1}{)}^2+(\frac{\partial f(x,y)}{\partial p_2}{)}^2{)}^{-1/2}\cdot g(x,y)+(x,y)$

• Der/die Schüler/in am Punkt $S=(x,y)$, soll verschoben werden, sodass der Funktionswert $f(x^{\prime },y^{\prime })$ größer als mittlere Lüftungsgüte $I_2=1,241$ ist
• Hierzu: Gradientenaufstiegsverfahren hintereinander ausführen, bis neue Position $(x^{\prime },y^{\prime })$ des/der Schülers/in über durchschnittlichen Lüftungsgüte liegt

Einfluss besetzter Plätze

Problem

• Zweiter Schüler darf nicht in die Nähe vom ersten Schüler
• Idee: Luftgüte besetzter Plätze runtersetzen
• Wie? Subtraktion eines Terms, der "Delle" in der Funktion schafft

Betrachtung im Zwei-Dimensionalen

Einfluss verschiedener Parameter auf die Glockenkurve - https://www.geogebra.org/classic/rkx4q6e6

[1]

Betrachtung im Drei-Dimensionalen

• Addition mit: $\frac{(I_2-f(S[1],S[2])-0.5)}{(1+\frac{(p_1-S[1]{)}^2+(p_2-S[2]{)}^2}{0.5^2})}$
• $S[1]$ beschreibt erste Komponente von $S$
• durch Zähler liegt man am Punkt $S$ 0,5 unter $I_2$
• Nenner $0.5^2$ hat Einfluss auf die Breite der Kuhle (Sicherheitsabstand)

Neue Funktion

• $f_2(p_1,p_2)=f(p_1,p_2)+\frac{(I_2-f(S[1],S[2])-0.5)}{(1+\frac{(p_1-S[1]{)}^2+(p_2-S[2]{)}^2}{0.5^2})}$
• Im Folgenden für $S=(2|1)$ geplottet

Plot der neuen Funktion

Plot der Luftgüte-Funktion bei fester Raumhöhe von 1,3m und Schüler auf (2/1)

Bewertung

• Stärkere Aussagekraft und größere praktische Anwendungsmöglichkeit

⇒ Verbesserung gegenüber den ersten beiden Zyklen

• Sitzordnung für jeden Klassenraum bestimmbar

• Abstandsregelung wird berücksichtigt

• auf verschiedene Gegebenheiten anpassbar

Optimierung

• Modell basiert auf Zyklus zwei

⇒ Optimierungsmöglichkeiten dieses Zyklus bleiben bestehen

• Gradientenaufstiegsverfahren kann sehr langwierig sein

⇒ Anpassung der Schrittweite

• Modellierung basiert rein auf Modellannahmen

⇒ Datenerhebung zur Kontrolle

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