Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester/Thema 2

Autofreies Landau

Das Europäische Parlament hat sich zum Ziel gesetzt, die CO2-Emissionen von neuen PKWs immer weiter zu senken. Doch es zeigt sich, dass die CO2-Emissionen von neuen PKWs seit 2016 über die vorgegeben Richtwerte steigen. In Landau sind die verschiedensten Verkehrsteilnehmer gleichzeitig auf der Straße: PKWs, Busse, Fahrradfahrer und Fußgänger. Sie alle bewegen sich fort und wollen an ihr Ziel. Die Frage ist, welche Kombination dieser Verkehrsteilnehmer die effizienteste ist, damit nach wie vor alle schnell an ihr Ziel kommen.

Gruppenteilnehmer

1. (Alexander Koch)
2. Alexander Lutz
3. Niklas Semmler

Zielsetzung des Modellierungsthemas

Auf Basis der durch die europäischen Gesetzgebung determinierten Emissionsziele müssen deutschlandweit Treibhausgasemissionen im Verkehr gesenkt werden. Um diese Ziele zu erreichen gilt es flexible Maßnahmen der Verkehrsverteilung zu evaluieren und umzusetzen. Aufgrund dieser hohen Anforderungen ist es Ziel unserer Modellierung den Landauer Verkehr möglichst autofrei und damit auch emissionsärmer zu gestalten, ohne dabei den Alltag der Bürger*Innen einzuschränken. Dazu werden Daten über das Kfzaufkommen auf den Straßen im Vergleich zur Auslastung des ÖPNV erhoben und in Relation zu dem jeweiligen Emissionsausstoß gesetzt. Die Daten werden genutzt um die Reduzierung des CO2-Ausstoßes darzustellen. Leitfrage soll sein ob Landau autofrei werden kann, ohne das erhebliche Einschränkungen im öffentlichen Leben entstehen.

Mögliche Fragen und Diskussionsansätze:

1. Wie ausgelastet sind die ÖPNV in Landau und wie sehr muss das Angebot erhöht werden, wenn Menschen nun mehr Busfahren?
2. Wie effizient sind die Autos auf den Straßen besetzt?
3. Ab welcher Besetzung wird der Bus effizienter als das Auto?
4. Wie viel CO2 kann man durch eine Umgestaltung des Straßenverkehrs einsparen?
5. Welchen Einfluss haben andere Verkehrsteilnehmer (wie z.B. Motorräder) auf das Verhältnis zwischen Autos und Bussen?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen [1]

Abbildung 1: Nachhaltigkeitsziele

• SDG 3 (Good Health and Well-being):

weniger Lärm und Abgase, körperliche Aktivität fördern durch mehr Bewegung (Fußgängerzonen, Fahrradwege)

• SDG 11 (Sustainable Cities and Communities)

Verbesserung der Luftqualität, Öffentlicher Raum lebenswerter, Verringerung von Lärm und Umweltbelastung, Förderung des öffentlichen Nahverkehrs, Städte lebhafter machen,

• SDG 13 (Climate Action)

Reduzierung der CO2-Emissionen durch weniger Autoverkehr, Klimaschutz

Datenerhebung

Für die Modellierung dieses Sachverhalts werden verschiedene Daten benötigt:

• Anzahl PKWs, Busse, Motorräder
• CO2-Emissionen von PKWs, Bussen und Motorrädern
• Anzahl beförderter Personen mit den jeweiligen Verkehrsmitteln

Die Erhebung der einzelnen Daten werden im folgenden genau beschrieben und präsentiert:

Anzahl PKWs, Busse, Motorräder

• Anfrage Klimaschutzportal Stadt Landau
• Zählen der PKWs, Busse und Motorräder an Verkehrsknotenpunkten der Stadt Landau

Abbildung 2: Ort der Zählungen

Um repräsentative Daten erheben zu können erfolgte das händische Zählen der Autos, Busse und Motorrädern zu verschiedenen Tageszeiten und an verschiedenen Wochentagen. Hierbei wurde jeweils morgens, mittags und nachmittags über einen Zeitraum von 15 Minuten gezählt. Die erhobenen Daten wurden in der Folge auf eine Stunde hochgerechnet. Das Zählen erfolgte an der Ampelkreuzung zwischen Godramsteiner Straße und Hindenburgstraße nahe der Universität und des Zoos. Die dabei erhobenen Daten im 15min-Intervall lassen sich wie folgt zusammenfassen.

Tabelle 1: Datenerhebung Autos,Busse,Motorräder und ihre Besetzungen (15min)

.

CO2-Emissionen von PKWs, Bussen, Motorrädern

• alle PKWs haben eine CO2-Emission von 114,9 g/Pkm
• alle Busse haben eine CO2-Emissionen von 30 g/Pkm , wenn der Bus voll besetzt ist.
• alle Motorräder haben im Schnitt eine CO2-Emission von 100 g/Pkm

Anzahl beförderter Personen mit den jeweiligen Verkehrsmitteln

Die durchschnittliche Besetzung der Verkehrsmittel wurde über das arithmetische Mittel gebildet.

Modellierungszyklus 1 (Level: Sekundarstufe I)

In diesem Modellierungszyklus wird die Situation modelliert in der die Transportkapazität aller potentiell fahrfähigen Autos auf das Busnetz umgelegt wird.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus I angenommen mit dem Ziel die Modellierung auf ein Niveau zu bringen, um die Modellierung in der Sekundarstufe I durcharbeiten zu können:

• alle PKWs haben eine CO2-Emission von 114,9 g/Pkm
• alle PKWs sind mit 1,6 Personen besetzt.
• alle Busse haben eine CO2-Emissionen von 30 g/Pkm, wenn der Bus voll besetzt ist.
• alle Busse werden immer voll mit 70 Personen besetzt
• es können uneingeschränkt neuen Busse in den Betrieb eingesetzt werden

Quellen in Datenerhebung festgehalten

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

Die Modellierung in diesem Zyklus findet durch einfache Rechenoperationen (Arithmetik ) statt. Hierbei werden alle Personen, die sich per PKW fortbewegen, auf Busse verteilt.

Zunächst werden hierfür die transportierten Personen berechnet und die zugehörigen Emissionen aller Personen der jeweiligen Beförderungsart berechnet:

Alle in diesem Zyklus verwendeten Daten sind aus einer Anfrage an die Stadt Landau

PKWs:

• in Landau sind Stand 1.1.23 $A_p:=24.433$ $[PKW]$ zugelassen (Anfrage Stadt Landau)
• die durchschnittliche Bestzung eines Autos beträgt $B_p:=1,6$ $\frac{[Personen]}{[PKW]}$
• die durchschnittlichen Emissionen eines PKWs betragen $E_p:=114$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ (Pkm: "Personenkilometer")

Es gilt: Es werden

$T_p:=A_p\cdot B_p=$ $24.433$ $[PKW]$ $*$ $1,6$ $\frac{[Personen]}{[PKW]}$ $=39.093$ $[Personen]$

mithilfe von PKWs transportiert.

Zudem gilt: Alle mit PKWs transportierten Personen stoßen

$G{E}_p:=T_p*E_p$ $=39.093$ $[Personen]$ $*$ $114$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ $=4.456.602$ $\frac{[g]}{[km]}$ $=4.457$ $\frac{[kg]}{[km]}$

Busse:

• in Landau sind Stand 1.1.23 $A_b:=337$ $[Busse]$ unterwegs (Anfrage Stadt Landau)
• die durchschnittliche Bestzung eines Busses beträgt $B_b:=45$ $\frac{[Personen]}{[Bus]}$ (65% der maximal Auslastung von 70 Personen)
• die durchschnittlichen Emissionen eines Busses betragen $E_{b}v:=30$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ (Pkm: "Personenkilometer") bei voller Auslastung. $=>$ $E_{b}m:=46$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ bei 65% Auslastung.

Es gilt: Es werden

$T_b:=A_b*B_b=$ $337$ $[Busse]$ $*$ $45$ $\frac{[Personen]}{[Bus]}$ $=15.165$ $[Personen]$

mithilfe von Bussen transportiert.

Zudem gilt: Alle mit Bussen transportierten Personen stoßen

$G{E}_b:=T_b*E_{b}m$ $=15.165$ $[Personen]$ $*$ $46$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ $=697.590$ $\frac{[g]}{[km]}$ $=698$ $\frac{[kg]}{[km]}$

Zusammenfassung

• Es werden insgesamt $54.258$ $[Personen]$ transportiert.
• alle zusammen stoßen $5.155$ $\frac{[kg]}{[km]}$ Emissionen aus

PKWs --> Busse+

Nachfolgend werden alle durch PKWs beförderte Personen auf die Busse verteilt:

Busse vollbesetzen: Die 337 Busse werden nun jeweils mit 15 Personen aus den Autos besetzt, um die maximal Kapazität der Busse zu erreichen.

$T_p-15$ $\frac{[Personen]}{[Bus]}$ $*A_b$ $=39.093$ $[Personen]$ $-$ $15$ $\frac{[Personen]}{[Bus]}$ $*$ $337$ $[Busse]$ $=$ $39.093$ $[Personen]$ $-$ $5.055$ $[Personen]$ $=$ $34.038$ $[Personen]$

neue Busse bereitstellen und voll besetzen: Die restlichen $34.038$ $[Personen]$ werden nun auf neue Busse verteilt, welche ebenfalls neu besetzt werden.

$\frac{34.038[Personen]}{70\frac{[Personen]}{[Bus]}}$ $=$ $486$ $[Busse]$

Zusammenfassung

• Es können nun $T_g:=57.610$ $[Personen]$ mit den Bussen transportiert werden. (mehr als bisher unterwegs waren)
• Es werden also insgesamt $823$ $[Busse]$ benötigt, um mindestens die gleiche Kapazität an Menschen zu bewegen

Emissionen der Busse:

Da die Busse nun voll besetzt sind, beträgt die Emssion der Busse $E_{b}v:=30$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$. Die Emission aller Personen in den Busse zusammen beträgt maximal $E_z$ $:=T_g*E_{b}v$ $=$ $T_g:=57.610$ $[Personen]$ $*$ $30$ $\frac{[g]}{[Pkm]}$ $=$ $1.728.300$ $\frac{[g]}{[km]}$ $=$ $1.728$ $\frac{[kg]}{[km]}$

Ergebnisse I

Abbildung 3: Zusammensetzung der Gesamtemissionen

Abbildung 4: Veränderung der Busanzahl

Abbildung 5: Veränderung der CO2-Emissionen

Durch das Umlagern aller durch PKWs beförderten Personen auf Busse, müssten in Landau mindestens $486$ $[Busse]$ mehr eingesetzt werden, um mindstens die gleiche Kapazität zu erreichen wie sie momentan vorherrscht. Hierbei können $D_{z}1$ $=$ $(G{E}_p+G{E}_b)-E_z$ $=$ $5.155$ $\frac{[kg]}{[km]}$ $-$ $1.728$ $\frac{[kg]}{[km]}$ $=$ $3.427$ $\frac{[kg]}{[km]}$ an Emissionen eingepart werden.

Diskussion

Die hier durchgeführte Modellierung nutzt allgemeine Durchschnittswerte für die Besetzung von Bussen und Autos und wendet diese auf die Verkehrssituation in Landau an. So wird hierbei angenommen, dass diese Werte unverändert auf die Situation in Landau übertragbar sind. Des Weiteren geht die Modellierung von einer optimalen Nutzung des ÖPNV-Angebots aus und verteilt alle bestehenden Autofahrer auf neu eingeführte Busse. Während dieses Vorgehen die Modellierung vereinfacht und einen Optimalzustand aufzeigt, ist es nicht realitätsnah, dass der Autoverkehr vollständig auf Busse umgelagert werden kann. Ebenso ist es sehr unwahrscheinlich im Alltag voll besetzte Busse anzutreffen. Um die individuellen Gegebenheiten des Standorts Landau im Bezug auf Durchschnittsbesetzungen der Autos und Busse zu berücksichtigen und eine variable Busbesetzung zu implementieren, wird die Vorgehensweise des zweiten Zyklus motiviert.

Modellierungszyklus 2 (Level: Sekundarstufe II)

Wie in der Diskussion des Zyklus I motiviert, soll in diesem Zyklus untersucht werden, ob nicht eventuell eine Kombination zwischen Autos UND Bussen eine geringere CO2-Emission zur Folge hat.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus II angenommen mit dem Ziel die Modellierung auf ein Niveau zu bringen, um die Modellierung in der Sekundarstufe II durcharbeiten zu können:

• alle PKWs haben eine CO2-Emission von 114,9 g/Pkm
• alle PKWs sind mit 1,23 Personen pro PKW besetzt (arithmetisches Mittel über die Zählungen)
• alle Busse haben eine CO2-Emissionen von 30 g/Pkm, wenn der Bus voll besetzt ist.
• alle Busse sind mit durchschnittlich 14 Personen pro Bus besetzt (arithmetisches Mittel über die Zählungen)

Quellen in Datenerhebung festgehalten

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen.

Die Umsetzung geschieht über das Modell der Linearen Optimierung . Die Lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Optimierung einer linearer Zielfunktionen über einer Menge $A$, welche durch verschiedene lineare (Un-)Gleichungen eingegrenzt wird.

Bei einer Linearen Optimierung sind eine Matrix $A$ ∈ $R^{mxn}$ und zwei Vektoren $b$ ∈ $R^m$ und $c^T$ ∈ $R^n$ durch die zu modellierende Situation gegeben. Das Ziel ist es eine Lösung $x$ ∈ $R^n$ mit $x_j>0$ mit $j=1,...,n$ zu finden, die die linearen Bedingungen

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n>=/<=b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n>=/<=b_2$

$...$

$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n>=/<=b_m$

erfüllt. Dabei stellen die $a_{ij}$ mit $i=1,...,m$ und $j=1,...,n$ die Gewichtungen der jeweiligen $x_j$ in der $m$-ten Bedingung dar.

In der Zielfunktion $Z(x_1,...,x_n)=c_1{x}_1+c_2{x}_2+...+c_n{x}_n$ beschrieben die $c_1,...c_n$ ebenfalls Gewichtungen, nach denen allerdings nun die $x_1,...,x_n$ optimiert werden sollen. Dies geschieht durch die Gleichung $Z(x_1,...,x_n)=d$, in der das $d$ soweit minimiert wird, dass die Lösung x in der zulässigen Menge $Ax>=/<=b$ liegt.

Bei einer 3- oder weniger dimensionalen lässt sich die Zielfunktion gut in einem dynamischen Geometrie-System optimieren.

Wird das Modell der Linearen Optimierung für ein Situation genutzt, die höher als 3-dimensional ist, biete sich zur Lösung ein iteratives Verfahren, genauer die SIMPLEX Methode an. Der grobe Ablauf der SIMPLEX Metohde lässt sich wie folgt darstellen:

1. Lokalisiere eine Ecke: Finde eine Ecke, die in der zulässigen Lösung liegt (trivial in (0,0), wobei diese Ecke nicht immer in der zulässigen Menge liegen muss; oder z.B. in (0,y) oder (x,0) für günstiges x,y>0)
2. Ist das Optimum in dieser Ecke erreicht?:
   • JA (also ein Gang entlang einer Kante kann die Zielfunktion nicht weiter optimieren) --> ENDE (Optimum erreicht)
   • NEIN ( alsi ein Gang entlang einer Kante kann die Zielfunktion noch minimieren) --> SCHRITT 3 (Optimum noch nicht erreicht)
3. Lokalisiere eine andere Ecke, die die Zielfunktion weiter optimiert: Gehe die anstoßenden Kanten an der Ecke entlang und überprüfe, ob diese für größer oder kleiner werdende $x_1,x_2,x_3,...$ die Zielfunktion innerhalb der zulässigen Lösung weiter optimiert. Gehe diese Kante weiter bis zu einer neuen Ecke und überprüfe erneut --> SCHRITT 2

Lösung und Ergebnisse II

In Zyklus II betrachten wir zunächst eine 2-dimensionale Lineare Optimierung (d.h. $i=1,2$ und $j=1,2$ zwischen Autos und Bussen. Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem aus der Matrix $A$ ∈ ${ℝ}^{2x2}$ mit dem Vektor $b$ ∈ ${ℝ}^2$:

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2\ge /\le b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2\ge /\le b_2$

In diesem Zyklus beschrieben die $x_1$ die Anzahl der Autos und die $x_2$ die Anzahl der Busse. Die $a_{ij}$ stehen für die Besetzungen der jeweiligen Fahrzeuge. Aufgrund von eigenen Zählungen (siehe oben) wurde festgestellt, dass innerhalb von einer Stunde mittags 2.128 Autos mit einer durchschnittlichen Besetzung von $a_{11}:=1,23$ Personen pro Auto unterwegs waren. Im gleichen Zeitraum waren 12 Busse mit einer durchschnittlichen Besetzung von $a_{12}:=14$ Personen pro Bus auf der Straße. Daraus ergibt sich eine Anzahl an transportierten Personen von $2.786=:b_1$, welche in diesem Zyklus als Mindestanzahl definiert wird (d.h. wir wollen trotz Optimierung der C0${}_2$-Emissionen immernoch mindestens [$\ge$] 2.786 Personen transportieren). Zusätzlich wollen wir die Anzahl der transportierten Personen, wenn alle Fahrzeuge vollbesetzt sind (d.h. $a_{21}:=4$ und $a_{22}:=70$, auf $12.000:=b_2$ begrenzen. Durch Einsetzen ergibt sich damit folgendes lineares Gleichungssystem:

$1,23x_1+14x_2\ge 2.786$

$4x_1+70x_2\le 12.000$

Zusätzlich zu diesen Bedingungen wurden noch folgende begrenzende Einschränkungen gefordert:

$x_1<=2.128$ (d.h. es sollen keine neuen Autos auf die Straße kommen)

$x_2<=60$ (d.h. es sollen nicht mehr als 60 Busse fahren müssen)

Daraus ergeben sich folgende vier Bedingungen:

Bed.1: $1,23x_1+14x_2\ge 2.786$

Bed.2: $4x_1+70x_2\le 12.000$

Bed.3: $x_1\le 2.128$

Bed.4: $x_2\le 60$

und die dazugehörige Zielfunktion $Z(x_1,x_2)=c_1{x}_1+c_2{x}_2$ mit $c_1:=140$ und $c_2:=2.100$, wobei das $c_i$ die CO${}_2$-Emissionen in g pro km sind. Es wird also das $d$ in kg pro km optimiert.

Wobei das $c_1:=140=1,23*114,9=$[Personenanzahl eines Autos] $*$ [CO2-Emissionen eines mit durchschnittlich 1,23 Personen besetzten Autos] und das $c_2:=2100=70*30=$ [Personenanzahl eines vollbesetzten Busses] $*$ [CO2-Emissionen pro Personen eines vollbesetzten Busses].

Graphische Lösung Mithilfe von Geogebra I

Diese Optimierung findet in GeoGebra Classic 6 statt. Hierfür müssen die Bedingungen 1 und 2 noch entsprechenden umgestellt werden, um eine Funktion zu erhalten, welche nur von einer Variable abhängt. Durch enstrepechende triviale Äquivalenzumformungen generieren sich folgende Terme:

Bed.1: $\frac{2.786-1,23x_1}{14}$ (in der Geogebra-Simulation ist die 14 über den Schiebregler "Besetzung Busse" eingestellt, kann aber verändert werden, um eine Versuchsreihe zu simulieren, welche alle Besetzungen eines Busses darstellt. Siehe Abbildung 6)

Bed.2: $\frac{12.000-4x_1}{70}$

Nun werden die 4 Bedingungen, die zulässige Mengen, welche die Bedingungen erzeugen, gekennzeichnet und die Zielfunktion in GeoGebra geplottet.

Abbildung 6: Variation der Busbesetzung

Interaktive Simualtion in GeoGebra

1. Fazit bei durchschnittlicher Besetzung der Busse: (Abb. 7)

   

   Abbildung 7: Optimierung der Emissionen bei einer Bestzung der Bussen von 14 Personen pro Bus

   Es zeigt sich durch das Minimieren von $d$, dass bei einer besetzung der Busse von durchschnittlich 14 Personen pro Bus, das Optimum hinsichtlich der CO${}_2$-Emissionen bei $324$ kg pro km liegt. Dabei bleibt die Verteilung zwischen Autos und Bussen genau bei der gezählten Konstellation. Das heißt, dass mit einer Besetzung der Busse von 14 Personen pro Bus es günstiger ist hinsichtlich der CO${}_2$-Emissionen die Anzahl der Autos und Busse exakt so beizubehalten.
2. Fazit bei erhöhter Besetzung der Busse: (Abb. 8)

   

   Abbildung 8: Optimierung der Emissionen bei einer Bestzung der Bussen von 70 Personen pro Bus

   Varriert man die Besetzung der Busse wird ersichtlich, dass ab einer Besetzung von 19 Personen pro Bus die CO${}_2$-Emissionen in kg pro km niedriger werden: $d=313,5$. Wird die Besetzung der Busse weiterhin erhäht, wird der Umstieg auf die Busse zunhemend günstiger bis hin auf $d=84$ kg pro km bei einer Busbesetzung von 70 Personen pro Bus.

Abbildung 9: Ergebnisse Zyklus II

Diskussion

Die dargestellte Situation beschränkt die Verkehrslage auf zwei emittierende Verkehrsteilnehmer (Autos und Busse). Hierbei wird diese Konstellation unter gewählten Parametern und teilweise anpassbaren Besetzungen modelliert. Zunächst entsteht hier, in der auf den gezählten Werten optimierten Situation ein Szenario, in dem maximal viele Autos (lediglich beschränkt durch die gewählten Grenzen) am Verkehr teilnehmen, um die Emissionen gering zu halten. Dieser Ausgang macht für die bestehende Lage das Auto "umweltfreundlicher" als den Bus, der unter niedriger Kapazitätsauslastung stark abfällt. Erst ab einer höheren Besetzung des Busses ist zu sehen, dass die Gesamtemissionen optimiert werden, wenn mehr Busse genutzt werden. Bezogen auf den Realzustand, müsste als Konsequenz also das Busfahren bzw. das Verkehrsmittel Bus attraktiver gemacht werden, um Landauer Bürgerinnen und Bürger zu motivieren den Bus zu nutzen und Emissionen zu sparen. Des weiteren fehlen in der Betrachtung weitere Verkehrsteilnehmer, welche Emissionen erzeugen. Dies sind beispielsweise die Motorräder, welche in Zyklus 3 beobachtet werden und eine neue Optimierung motivieren

Modellierungszyklus 3 (Level: Uni-Niveau)

Wie in der Diskussion des Zyklus II motiviert soll nun im Modellierungszyklus III das Modell in die 3-Dimensionalität gehoben werden. Hierbei werden nun zusätzlich zu den Autos und Bussen nun auch die Motorräder betrachtet.

Voraussetzungen

Folgende Voraussetzungen werden für den Modellierungszyklus III angenommen:

• alle PKWs haben eine CO2-Emission von 114,9 g/Pkm
• alle PKWs sind mit 1,23 Personen pro PKW besetzt (arithmetisches Mittel über die Zählungen)
• alle Busse haben eine CO2-Emissionen von 30 g/Pkm, wenn der Bus voll besetzt ist
• alle Busse sind mit durchschnittlich 14 Personen pro Bus besetzt (arithmetisches Mittel über die Zählungen)
• alle Motorräder haben eine CO2-Emission von 100 g/km
• alle Motorräder waren mit durchschnittlich 1 Person pro Motorrad besetzt (arithmetisches Mittel über die Zählungen)

Quellen in Datenerhebung festgehalten

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

Die Umsetzung geschieht erneut über das Modell der Linearen Optimierung, beschrieben bereits in Zyklus 2.

Lösung und Ergebnisse III

In Zyklus III betrachten wir nun eine 3-dimensionale Lineare Optimierung zwischen Autos, Bussen und Motorrädern. Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem aus der Matrix $A$ ∈ ${ℝ}^{2x3}$ mit dem Vektor $b\in {ℝ}^2$:

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3\ge /\le b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3\ge /\le b_2$

In diesem Zyklus beschrieben erneut die $x_1$ die Anzahl der Autos, die $x_2$ die Anzahl der Busse und die $x_3$ die Anzahl der Motorräder. Die $a_{ij}$ stehen für die Besetzungen der jeweiligen Fahrzeuge. Aufgrund von eigenen Zählungen (siehe oben) wurde festgestellt, dass innerhalb von einer Stunde mittags 2.128 Autos mit einer durchschnittlichen Besetzung von $a_{11}:=1,23$ Personen pro Auto unterwegs waren. Im gleichen Zeitraum waren 12 Busse mit einer durchschnittlichen Besetzung von $a_{12}:=14$ Personen pro Bus auf der Straße und 50 Motorräder mit jeweils $a_{13}:=1$ Personen unterwegs. Daraus ergibt sich eine Anzahl an transportierten Personen von $2.836=:b_1$, welche in diesem Zyklus als Mindestanzahl definiert wird (d.h. wir wollen trotz Optimierung der C0${}_2$-Emissionen immer noch mindestens [$\ge$] 2.786 Personen transportieren). Zusätzlich wollen wir die Anzahl der transportierten Personen, wenn alle Fahrzeuge vollbesetzt sind (d.h. $a_{21}:=4$, $a_{22}:=70$ und $a_{23}:=2$, auf $12.000:=b_2$ begrenzen. Durch Einsetzen ergibt sich damit folgendes lineares Gleichungssystem:

$1,23x_1+14x_2+1x_3\ge 2.836$

$4x_1+70x_2+2x_3\le 12.000$

Zusätzlich zu diesen Bedingungen wurden noch folgende begrenzende Einschränkungen gefordert:

$x_1<=2.128$ (d.h. es sollen keine neuen Autos auf die Straße kommen)

$x_2<=60$ (d.h. es sollen nicht mehr als 60 Busse fahren müssen)

$x_3<=200$ (d.h. es sollen nicht mehr als 200 Motorräder fahren müssen)

Daraus ergeben sich folgende fünf Bedingungen:

Bed.1: $1,23x_1+14x_2+1x_3\ge 2.836$

Bed.2: $4x_1+70x_2+2x_3\le 12.000$

Bed.3: $x_1\le 2.128$

Bed.4: $x_2\le 60$

Bed.5: $x_3\le 200$

und die dazugehörige Zielfunktion $Z(x_1,x_2,x_3)=c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3$ mit $c_1:=140$, $c_2:=2.100$ und $c_3:=100$, wobei das $c_i$ die CO${}_2$-Emissionen in g pro km und Fahrzeug sind. Es wird also das $d$ in kg pro km optimiert. (für die Ermittlung von den $c_i$ siehe Zyklus II und für die CO2-Emissione der Motorräder siehe CO2-Emissionen Motorrad)

Graphische Lösung Mithilfe von Geogebra II

Diese Optimierung Mihilfe graphischer Lösung findet in GeoGebra Classic 6 statt. Hierfür müssen die Bedingungen 1 und 2 noch entsprechenden umgestellt werden, um eine Funktion zu erhalten, welche nur von zwei Variablen abhängt. Durch enstrepechende triviale Äquivalenzumformungen generieren sich folgende Terme:

Bed.1: $x_3>=2.836-1,23x_1-14x_2$ (in der Geogebra-Simulation ist die 14 über den Schiebregler "Besetzung Busse" eingestellt, kann aber verändert werden, um eine Versuchsreihe zu simulieren, welche alle Besetzungen eines Busses darstellt. Siehe Abbildung 10)

Bed.2: $x_3<=$ $\frac{12.000-4x_1-70x_2}{2}$

Nun werden die 5 Bedingungen, die zulässige Menge erzeugen, gekennzeichnet und die Zielfunktion in GeoGebra geplottet.

Abbildung 10: Variation der Busbesetzung

Interaktive Simulation in GeoGebra

1. Fazit bei durchschnittlicher Besetzung der Busse: (Abb. 11)

   

   Abbildung 11: Optimierung der Emissionen bei einer Bestzung der Bussen von 14 Personen pro Bus

   Es zeigt sich durch das Minimieren von $d$, dass bei einer Besetzung der Busse von durchschnittlich 14 Personen pro Bus, das Optimum hinsichtlich der CO${}_2$-Emissionen bei $322$ kg pro km liegt. Dabei verändert sich die Verteilung zwischen Autos, Bussen und Motorrädern zu gunsten der Motorräder. Das heißt, dass mit einer Besetzung der Busse von 14 Personen pro Bus es günstiger ist hinsichtlich der CO${}_2$-Emissionen die Anzahl der Autos bei 2.128 zu belassen, die Busse auf 2 zu beschränken und die Motorräder auf eine Anzahl von 200 zu erhöhen.
2. Fazit bei erhöhter Besetzung der Busse: (Abb. 12)

   

   Abbildung 12: Optimierung der Emissionen bei einer Bestzung der Bussen von 30 Personen pro Bus

   Varriert man die Besetzung der Busse wird ersichtlich, dass ab einer Besetzung von 19 bis 44 Personen pro Bus die CO${}_2$-Emissionen in kg pro km niedriger werden (je nach Besetzung der Busse im Intervall [146,314], dabei ist für eine Besetzung von 19 Personen pro Bus $d=314$ kg pro km und für eine Besetzung von 44 Personen pro Bus $d=146$), was zur Folge hat, dass es bei dieser Besetzung günstiger ist, die Busse und Motorräder in ihrer Anzahl zu maximieren, d. h. die Busse auf 60 zu erhöhen und die Motorräder auf 200. Die Anzahl der Autos sinkt dabei mit zunehmender Besetzung der Busse.
3. Fazit bei maximaler Besetzung der Busse: (Abb. 13)

   

   Abbildung 13: Optimierung der Emissionen bei einer Bestzung der Bussen von 70 Personen pro Bus

   Wird die Besetzung der Busse bis zum Maximum stetig erhöht, wird der Umstieg auf die Busse zunehmend günstiger bis hin auf $d=86$ kg pro km bei einer Busbesetzung von 70 Personen pro Bus. Wobei dadurch die Anzahl der Autos und der Motoräder auf 0 reduziert wird und 41 Busse auf der Straße benötigt werden.

Abbildung 14: Ergebnisse Zyklus III

Diskussion

Auch der Modellierungszyklus III beschränkt die Verkehrslage auf drei emittierende Verkehrsteilnehmer (Autos, Busse und Motorräder). Hierbei wird diese Konstellation unter gewählten Parametern und teilweise anpassbaren Besetzungen modelliert. Hierbei entstehen durch die Modellierung im Groben drei unterschiedliche Situationen, welche dennoch die Komplexität des in Landau vorherrschenden Verkehr nicht realitätstreu abbilden können. Dazu wäre es nötig, diesen Modellierungszyklus durch weitere Verkehrsteilnehmer zunehmend zu erweitern, um somit dem realen Verkehr stetig näher zu kommen. Dennoch bietet dieser Modellierungszyklus eine grobe Richtung, dass Landau nur dann autofrei werden kann, wenn sich mehr Menschen für die Busse entscheiden und diese zeitgleich weiter ausgebaut werden. Es ist also ein Umdenken der Bevölkerung nötig, um Landau autofrei zu bekommen. Dennoch darf nicht untergraben werden, dass diese Modellierungen die Pendler, die nach Landau oder aus Landau raus müssen, nicht realitätsnah berücksichtigt, was zur Folge hat, dass nicht nur der ÖPNV IN Landau sondern auch in der Region Südpfalz stark ausgebaut werden müsste.

Gesamtfazit

Um Landau nun autofrei zu bekommen, Gibt es durch die 3 Modelleriungszyklen auch 3 Möglichkeiten, wobei diese selbstverständlich keine absoluten Zahlen für die Realität liefern, da hier maximal 3 Verkehrsmittel berücksichtigit wurden.

Der Zyklus I ergibt, dass durch die Umlegung aller mit dem Auto beförderten Personen in Landau auf Busse mindestens 486 Busse mehr eingesetzt werden müssten. Hierbei könnten dann aber von 5.155 kg CO2 /km 3.427 kg CO2 /km eingespart werden. Jedoch ist diese Situation kaum zu erreichen, da die Anschaffung von 486 Bussen für die Stadt Landau nicht effizient wäre, da diese auch nur innerhalb von Landau pendeln würden und somit keine Person von Landau raus oder rein kann.

Der Zyklus II ergibt, dass für den beobachteten Zeitraum bereits eine Besetzung von 47 Personen pro Bus ausreichen würde, um autofrei zu sein. Hierfür müssten dann 60 Busse unterwegs sein (nur für die beobachtete Kreuzung im entsprechenden Zeitraum). Hierbei könnten von den jetzigen 324 kg CO2 / km ab einer Besetzung von 47 Personen pro Bus bereits 199 kg CO2 / km eingepart werden.

Der Zyklus III ergibt, dass für den gleichen Zeitraum ebenfalls eine Besetzung von 45 Personen pro Bus ausreichen würde, um einen autofreien Verkehr zu ermöglichen, jedoch müssten dann sowohl die Busse als auch die Motorräder erhöht werden (in Zyklus III also auf 60 Busse und 200 Motorräder). Hierbei könnten dann aber wiederum von 322 kg CO2 / km ab einer Besetzung von mindestens 45 Personen pro Bus 187 kg CO2 / km eingespart werden.

Aus diesen Zyklen lässt sich ableiten, dass für eine Autofreies Landau die anderen Verkehrsmittel erhöht werden müssen sowie die Besetzung der Busse stark erhöht werden muss. Wobei sich die Tendenz zeigt, dass mit der Berücksichtigung von weiteren Verkehrsmitteln, die Bestzung der Busse reduziert, die benötigt wird, um autofreie Straßen zu erhalten.

Es ist also ein Umdenken in der Gesellschaft nötig, während die Politik die nötigen Mittel und Wege freigibt und den ÖPNV in der Region weiter ausbaut. Denn eine autofreies Landau ist nur gemeinsam und auf Basis einer weiterhin uneingeschränkten Fortbewegungsmöglichkeit möglich.