Polynome und Nullstellen

Definition: Polynom und Nullstellen

Ist $x$ eine Variable und $n$ eine natürliche Zahl, so ist ein Polynom in $x$ ein Ausdruck der Form $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n}$ , falls $a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ Zahlen sind. Ist $a_{n} \neq 0$ , so hat das Polynom den Grad $n$ .
Wir sagen für $n \in ℕ$ dass $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n}$ ein ganzzahliges, rationales oder reelles Polynom ist, wenn für alle $i \in {0, 1, 2, . . ., n}$ gilt $a_{i} \in ℤ$ , $a_{i} \in ℚ$ bzw. $a_{i} \in ℝ$ .
Die Menge aller ganzzahligen, rationalen oder reellen Polynome bezeichnen wir mit $ℤ [x]$ , $ℚ [x]$ bzw. $ℝ [x]$ .
In der Mathematik sind Polynome eigentlich anders definiert als Abbildungen, aber häufig (und wir machen das auch so) werden sie einfach mit der Abbildung $x \mapsto a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{n} x^{n}$ (der sogenannten Polynomfunktion) identifiziert. Wir schreiben dann $p (x)$ anstelle von $p$ .^[1]
Eine Nullstelle eines Polynoms $p$ ist eine Lösung der polynomialen Gleichung $p (x) = 0$ .

Betrachten wir hingegen das Polynom $x^{2} + 1$ , so können wir anhand des Graphen der zugehörigen Polynomfunktion keine reelle Nullstelle ablesen.
Graph eines Polynom zweiten Grades
Es hat also nicht jedes reelle Polynom automatisch auch eine reelle Nullstelle.

Wir werden später noch einmal auf Polynome zurückkommen.

↑ Probleme treten hierbei nur auf, wenn man die Koeffizienten aus endlichen Mengen wählt, nicht aber bei $ℤ$ , $ℚ$ , etc.