Kurs:Mathematik fuer Anwender/Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

Definition: Lineare Abbildung

Eine Abbildung $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ heißt lineare Abbildung, falls für alle Vektoren $v,w\in {ℝ}^n$ und alle $\mu \in ℝ$ gilt:

• $f(v+w)=f(v)+f(w)$ und
• $\mu \cdot f(v)=f(\mu \cdot v)$.

Beispiel: Lineare Abbildung

• Die Abbildung $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ mit $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\\ 2x\end{array}\right)$ ist eine lineare Abbildung.
• Die Abbildung $g:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ mit $g\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ für alle $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in {ℝ}^n$ ist eine lineare Abbildung, die sogenannte Identitätsabbildung.
• Die Abbildung $h:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ mit $h\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)=0_{{ℝ}^n}$ für alle Vektoren aus ${ℝ}^n$ ist eine lineare Abbildung, die sogenannte Nullabbildung.

Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, den wir (zumindest in Grundzügen) hier besprechen werden.

Satz: Matrix und Lineare Abbildung

• Wie wir in Lemma sehen können, ist für jede $m\times n$-Matrix $A$ die Abbildung $f_A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ mit $f_A(v)=A\cdot v$ eine lineare Abbildung.
• Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ eine passende $m\times n$-Matrix $A$, für die $f=f_A$ ist. D. h., man kann sich $f$ als eine Multiplikation mit einer geeigneten Matrix $A$ vorstellen.

Beispiel: Matrix und Lineare Abbildung

• Der Abbildung $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ mit $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\\ 2x\end{array}\right)$ entspricht die $3\times 2$-Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\\ 2& 0\end{array}\right),$ denn $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\\ 2x\end{array}\right)$.
• Der Identitätsabbildung auf ${ℝ}^n$ entspricht die $n\times n$-Matrix $E_n:=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& 1& 0& \dots & 0\\ ⋮& & \ddots & & ⋮\\ 0& & \dots & 0& 1\end{array}\right),$ also die Matrix, die auf der Diagonalen nur Einsen und sonst überall Nullen als Einträge hat. Diese Matrix heißt Einheitsmatrix.
• Der Nullabbildung auf ${ℝ}^3$ entspricht die Nullmatrix $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Beispiel: Anwendung Lineare Abbildung

• Eine Multiplikation mit der Matrix $D_{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)$ beschreibt geometrisch eine Drehung des ${ℝ}^2$ um den Ursprung mit dem Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn.
  

Die zugehörige lineare Abbildung $f_D:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ ist gegeben durch $f_D\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cdot \cos (\alpha )-y\cdot \sin (\alpha )\\ x\cdot \sin (\alpha )+y\cdot \cos (\alpha )\end{array}\right).$

• Eine Multiplikation mit der Matrix $S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ beschreibt geometrisch eine Spiegelung der Punkte des ${ℝ}^2$ an der 1. Winkelhalbierenden (die Gerade mit der Gleichung $y=x$). Die zugehörige lineare Abbildung $f_S:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ ist gegeben durch $f_S\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right).$
• Drehungen und Spiegelungen sind also Beispiele für lineare Abbildungen.

Satz: Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen entspricht der Multiplikation der zugehörigen Matrizen. Formal sauber(er): Seien $f_A:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ und $f_B:{ℝ}^k\to {ℝ}^m$ zwei lineare Abbildungen mit zugehörigen Matrizen $A$ bzw. $B$ ($A$ ist eine $n\times m$-Matrix und $B$ ist eine $m\times k$-Matrix). Dann ist auch die Hintereinanderausführung $f_A\circ f_B:{ℝ}^k\to {ℝ}^n$ eine lineare Abbildung mit $(f_A\circ f_B)(x)=f_A(f_B(x))$. Die zu $f_A\circ f_B$ gehörende Matrix ist die $n\times k$-Matrix $A\cdot B$.

Beispiel: Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen

Wir betrachten ein System mit genau vier möglichen Zuständen $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ und $Z_4$. Die vier Zustände können sich innerhalb einer festen Zeiteinheit verändern. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Änderungen seien bekannt und im folgenden Diagramm dargestellt:

Diagramm: Zustandswahrscheinlichkeiten

Daraus können wir die folgende Übergangsmatrix $U$ basteln: $U:=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{4}& 0& \frac{1}{8}& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{5}{8}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{4}& 0& \frac{7}{8}\\ 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}\end{array}\right)$ Ist nun $p=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{array}\right)$ ein Vektor mit den Wahrscheinlichkeiten, dass vor einer Änderung die Zustände $Z_1$ , $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$ vorliegen (also gilt $p_1+p_2+p_3+p_4=1)$, so erhält man durch Matrixmultiplikation der Matrix $U$ (bei der die Summe der Einträge in jeder Spalte übrigens auch $=1$ sein muss) mit dem Vektor $p$ den entsprechenden Vektor mit den Wahrscheinlichkeiten dafür, dass nach der Änderung die Zustände $Z_1$ , $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$ vorliegen. So einen stochastischen Prozess, bei dem ein Zustand nur vom direkten Vorgängerzustand (und nicht von weiteren Faktoren, etwa weiter zurückliegenden Zuständen abhängt), nennt man (diskreten) Markov-Prozess.

Wir wollen nun wissen, wie die Wahrscheinlichkeiten nach $4$ Zustandsänderungen aussehen. Dazu berechnen wir $U\cdot (U\cdot (U\cdot (U\cdot p)))=(U\cdot U\cdot U\cdot U)\cdot p=\left(\begin{array}{cccc}\frac{284}{4096}& \frac{342}{4096}& \frac{212}{4096}& \frac{371}{4096}\\ \frac{1180}{4096}& \frac{1554}{4096}& \frac{760}{4096}& \frac{1729}{4096}\\ \frac{1792}{4096}& \frac{1330}{4096}& \frac{2312}{4096}& \frac{1113}{4096}\\ \frac{840}{4096}& \frac{870}{4096}& \frac{812}{4096}& \frac{883}{4096}\end{array}\right)\cdot p$

Und noch ein Beispiel:

Wir hatten gesehen, dass eine Drehung im ${ℝ}^2$ um den Ursprung mit Winkel $\frac{\pi }{2}$ einer Multiplikation mit der Matrix $D_{\frac{\pi }{2}}=\left(\begin{array}{cc}\cos (\frac{\pi }{2})& -\sin (\frac{\pi }{2})\\ \sin (\frac{\pi }{2})& \cos (\frac{\pi }{2})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ entspricht und eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden einer Multiplikation mit der Matrix $S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$ Wir wollen nun wissen, was mit dem Punkt $v:=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ geschieht, wenn er erst um $\frac{\pi }{2}$ gedreht und das Ergebnis dann an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Dazu rechnen wir $S\cdot (D_{\frac{\pi }{2}}\cdot v)=(S\cdot D_{\frac{\pi }{2}})\cdot v=(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right))\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right).$