Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 6/Rückmeldung

Bei den Abgaben dieser Woche kam es teilweise zu Unsicherheiten beim Potenzreihenansatz, insbesondere beim zugehörigen Koeffizientenvergleich. Beim Potenzreihenansatz macht man die Annahme, dass die in einer Differentialgleichung auftretende Funktion Vorlage:Math von der Form Vorlage:Math ist, also eine Potenzreihe mit unendlich vielen, a priori unbekannten Koeffizienten Vorlage:Math, Vorlage:Math. Nun lassen sich Funktionen, die von Vorlage:Math abhängen, anders darstellen. Zum Beispiel gilt für die Funktion Vorlage:Math die Beziehung

$f(y)=y^2=a_0^2+(a_0{a}_1+a_1{a}_0)t+(a_0{a}_2+a_1^2+a_2{a}_0)t^2+(a_0{a}_3+a_1{a}_2+a_2{a}_1+a_3{a}_0)t^3+\cdots ,$

indem wir das Vorlage:Definitionslink von Potenzreihen berechnen. Außerdem kann zum Beispiel die Funktion Vorlage:Math umgeformt werden zu

$g(y)=y^{\prime }=a_1+2a_{2}t+3a_3{t}^2+4a_4{t}^3+\cdots .$

Dabei fällt auf, dass wir die Koeffizienten zu niedrigen Potenzen von Vorlage:Math als formale Ausdrücke in den Unbekannten Vorlage:Math, Vorlage:Math, ausdrücken. Falls wir nun beispielsweise die Differentialgleichung Vorlage:Math, also Vorlage:Math, mit dem Potenzreihenansatz angehen wollen, so müssen wir für jede (niedrige) Potenz von Vorlage:Math die zugehörigen Koeffizienten (die von den Vorlage:Math abhängen) vergleichen. Für die Koeffizienten zur nullten Potenz Vorlage:Math muss also

$a_1=a_0^2$

gelten, für die Koeffizienten zu Vorlage:Math gilt

$2a_2=2a_0{a}_1,$

für Vorlage:Math ergibt sich

$3a_3=2a_0{a}_2+a_1^2$

usw. Wir erhalten also viele Gleichungen in den Unbekannten Vorlage:Math, zu jeder Potenz von Vorlage:Math eine, die wir schrittweise lösen können. In diesem Fall gilt zum Beispiel Vorlage:Math, Vorlage:Math, Vorlage:Math, usw. Die Koeffizienten der Potenzreihe Vorlage:Math lassen sich also schrittweise umformen zu Ausdrücken, die nur noch von dem einen unbekannten Parameter Vorlage:Math abhängen.

Hat man ein Differentialgleichungssystem wie etwa Vorlage:Relationskette/display gegeben, so funktioniert der Ansatz ganz analog. Man hat nun noch eine zweite Potenzreihe Vorlage:Math mit Unbekannten Vorlage:Math. Die Gleichungen, die beim Koeffizientenvergleich zu Potenzen von Vorlage:Math auftreten, hängen daher sowohl von Vorlage:Math also auch Vorlage:Math ab. Das Lösen wird dadurch ein bisschen komplizierter, aber funktioniert analog zu obigem Beispiel, also schrittweise für die Potenzen Vorlage:Math. Eine etwaige Anfangsbedingung kann dabei möglicherweise ausgenutzt werden, um die Gleichungen direkt ein bisschen zu vereinfachen, indem man etwa einen Koeffizienten direkt eliminiert. So impliziert etwa Vorlage:Math, dass Vorlage:Math gelten muss.

Bei Aufgabe 42.19 war teilweise die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Hier sollte eine neue Differentialgleichung zu der Funktion Vorlage:Math ermittelt werden. Das bedeutet, dass eine Differentialgleichung gefunden werden muss, in der Vorlage:Math und Vorlage:Math vorkommen, nicht aber Vorlage:Math oder Vorlage:Math. Die Ableitung Vorlage:Math lässt sich unter Verwendung von Vorlage:Math, der Kettenregel und den vorgegeben Ausdrücken für Vorlage:Math und Vorlage:Math berechnen und zu einem Ausdruck umformen, der nur von Vorlage:Math abhängt. Die so gewonnene Differentialgleichung in Vorlage:Math lässt sich lösen und kann helfen, im zweiten Teil der Aufgabe eine Lösung für das vorliegende Differentialgleichungssystem in Vorlage:Math und Vorlage:Math zu finden.