Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 10/Rückmeldung

In dieser Woche gab es nur wenige Abgaben. Zu den folgenden zwei Aufgaben haben sich aber ein paar Anmerkungen ergeben.

Zu Aufgabe 49.17 gab es Nachfragen bezüglich der Größe der Terme. Bei dieser Aufgabe soll auf verschiedene Weisen das totale Differential von Vorlage:Math berechnet werden, wobei Vorlage:Math selbst jeweils Abbildungen sind, die durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind. Dabei soll das totale Differential in einem Punkt Vorlage:Math berechnet werden. Das bedeutet also, dass das Ergebnis von den Variablen Vorlage:Math abhängt.

Die Verkettung von Funktionen kann durch Einsetzen berechnet werden. Für Vorlage:Math ergibt sich zum Beispiel

$(g\circ f)(P)=g(f(u,v))=g(u^2,uv,u-v^2)=(u^2{v}^2+u^2+v^2-u,-u^5{v}^3+u^{6}v)$

Analog bestimmt man Vorlage:Math, wobei man zwei recht große Polynome erhält. Sie haben viele Terme und hohen Grad, sodass diese Aufgabe sehr rechenintensiv ist. Anschließend kann man die Jacobi-Matrix aufstellen, um eine Beschreibung des totalen Differentials zu erhalten.

Eine andere Variante zur Berechnung des totalen Differentials verwendet die Kettenregel. Dabei berechnet man

$\mathrm{Jak}(h{)}_{g(f(P))}\circ \mathrm{Jak}(g{)}_{f(P)}\circ \mathrm{Jak}(f{)}_P,$

also das Produkt von drei polynomialen Matrizen, sodass man wiederum ein sehr großes Ergebnis erhält.

Bei Aufgabe 50.17 sind die beiden verschiedenen Ansätze das Taylor-Polynom zu berechnen das Hauptaugenmerk. Bereits in nur einer Variablen lässt sich beobachten, dass das Taylor-Polynom zu einer Polynomfunktion sich im Nullpunkt besonders leicht berechnen lässt. Falls etwa Vorlage:Math ein Polynom ist, so ergibt sich das Vorlage:Math-te Taylor-Polynom im Nullpunkt durch Abschneiden Vorlage:Math beim Grad Vorlage:Math. Sind wir nicht am Taylor-Polynom im Nullpunkt, sondern etwa an der Stelle Vorlage:Math interessiert, so können wir zunächst eine Koordinatentransformation Vorlage:Math durchführen. Bezüglich der neuen Koordinate Vorlage:Math berechnen wir dann das Taylor-Polynom im Nullpunkt (dort besitzt Vorlage:Math den Wert Vorlage:Math). Wir bestimmen also Vorlage:Math mit geeigneten Koeffizienten Vorlage:Math, die direkt ausgerechnet werden können. Das Taylor-Polynom zum Grad Vorlage:Math im Punkt Vorlage:Math ist dann

$b_0+\cdots +b_k{Y}^k=b_0+b_1(X-1)+\cdots +b_n(X-1{)}^k.$

Dieser Ansatz ist rein algebraisch – an keiner Stelle berechnen wir Ableitungen. Der andere Ansatz hingegen verwendet direkt die Definition des Taylor-Polynoms, bei dem die Koeffizienten Vorlage:Math also explizit über Ableitungen der Funktion berechnet werden können.

In mehreren Variablen funktionieren die beiden Ansätze ganz analog und lassen sich auf die Aufgabe anwenden. Der algebraische Ansatz wird auch in Vorlage:Faktlink erklärt.