Kurs:Lineare Algebra II/Vektorräume (Ergänzungen)

Wir wollen hier zwei allgemeine Konstruktionen mit Vektorräumen ergänzen, die auch bei anderen Strukturen immer wiederkehren werden.

Quotientenraum und Homomorphiesatz

Betrachten wir lineare Gleichungssysteme $A𝐱=𝐛$, mit fester Koeffizientenmatrix $A$ und variabler rechter Seite $𝐛\in K^m$. Dann sind die Lösungsmengen affine Unterräume mit gleichem Untervektorraum $\mathscr{H}(A,𝐛)=𝐱+{\mathscr{H}}_0(A)$, wobei $𝐱=𝐱(𝐛)$ eine spezielle (aber beliebige) Lösung von $A𝐱=𝐛$ ist (sofern es überhaupt eine Lösung gibt). Wir wissen bereits: Sind $\mathscr{H}(A,{𝐛}_1)={𝐱}_1+{\mathscr{H}}_0(A)$ und $\mathscr{H}(A,{𝐛}_2)={𝐱}_2+{\mathscr{H}}_0(A)$, dann sind $\mathscr{H}(A,{𝐛}_1+{𝐛}_2)=({𝐱}_1+{𝐱}_2)+{\mathscr{H}}_0(A),\mathscr{H}(A,r{𝐛}_1)=(r{𝐱}_1)+{\mathscr{H}}_0(A)$. Damit erhält die Menge der Lösungsräume $\{\mathscr{H}(A,𝐛)|𝐛\in 𝒮(A)\}$ die Struktur eines Vektorraumes.
Jeder Unterraum $U\subseteq V$ induziert auf $V$ ein Äquivalenzrelation $𝐱{\sim }_U𝐲$ gdw. $𝐱-𝐲\in U$. Wir bezeichnen mit $V/U$ die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen $\overline{𝐱}=𝐱+U$.

Definition 2.1

$V/U$ ist ein $K$-Vektorraum, genannt der Quotientenraum von $V$ nach $U$, durch die folgende Festsetzung der Addition und skalaren Multiplikation $(𝐱+U)+(𝐲+U):=(𝐱+𝐲)+U$ und $r(𝐱+U):=(r𝐱)+U$.

Corollar 2.2

Die natürliche Abbildung $p_U:V\to V/U,𝐱\mapsto \overline{𝐱}=𝐱+U$ ist eine surjektive lineare Abbildung mit $ker(p_U)=U$. Insbesondere gilt $\dim (V/U)=\dim (V)-\dim (U)$.

Beispiel: Sei $V=K[X],f(X)\in K[X],U=\{hf|h\in K[X]\}$, dann gilt $\dim (V/U)=d=\mathrm{deg}(f)$ und $V/U=Lin\{\bar{1},\bar{X},\stackrel{2}{\stackrel{‾}{X}},...,\stackrel{d-1}{\bar{X}}\}$.

Satz 2.3 (Homomorphiesatz)

Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung $L^{\prime }:V/ker(L)\to W$ mit $L=L^{\prime }\circ p_{ker(L)}$. Dabei induziert $L^{\prime }$ einen Isomorphismus $V/ker(L)\cong im(L)$.

Dabei entsprechen die Elemente von $V/ker(L)$ den Fasern (Urbildmengen) von $L$.
Die Konstruktion von Restklassenstrukturen ist nicht an Vektorräume gebunden. Dahinter steckt ein allgemeines Prinzip. Dies gilt auch für den folgenden Isomorphiesatz.

Satz 2.4

Sind $U_1$ und $U_2$ Unterräume von $V$, dann gilt $(U_1+U_2)/U_1\cong U_2/(U_1\cap U_2)$.

Dualer Vektorraum

Definition 2.5

Der duale Raum $V^{*}$ eines Vektorraumes $V$ ist der Raum der linearen Funktionale $V^{*}:=Hom(V,K)$.

Beispiel: Der duale Raum von $Mat(n,1)$ ist $Mat(1,n)$ und umgekehrt, der duale Raum von $K[X]$ ist isomorph zu $K^{\mathbb{N}}$. Eigenschaften und spezielle Konstruktionen:

• Die Anwendung linearer Funktionale auf Vektoren induziert eine (kanonische) Bilinearform $V^{*}\times V\to K,({𝐱}^{*},𝐲)\mapsto [{𝐱}^{*},𝐲]:={𝐱}^{*}(𝐲)$.
• Zu jeder Basis $B$ von $V$ gibt es eine eindeutig bestimmte Basis $B^{*}$ von $V^{*}$, genannt duale Basis zu $B$. Dabei wird ${𝐯}_j^{*}$ durch lineare Fortsetzung der Zuordnung ${𝐯}_i\mapsto {\delta }_{ij}$ definiert. Dann gelten ähnliche Rechenregeln wie für ONBs, beispielsweise bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. $B$ durch $𝐱=\sum _i{𝐯}_i^{*}(𝐱){𝐯}_i=\sum _i[{𝐯}_i^{*},𝐱]{𝐯}_i$.
• Zu einem Unterraum $U\subseteq V$ lässt sich ein Unterraum $Ann(U)\subseteq V^{*}$ zuordnen

$Ann(U):=\{{𝐯}^{*}\in V^{*}|[{𝐯}^{*},𝐮]=0\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}𝐮\in U\}$.

Testfrage: Man bestimme $\dim (Ann(U))$ als Funktion von $\dim (U)$.

• Ein endlich-dimensionaler Vektorraum $V$ ist isomorph zu seinem dualen Raum $V^{*}$ (allein aus Dimensionsgründen), es gibt jedoch keinen ausgezeichneten Isomorphismus, der basisunabhängig definiert werden kann.
• Dagegen ist die Abbildung $i:V\to V^{**}$, wobei $i(𝐱)$ durch die Festlegung $[i(𝐱),{𝐲}^{\prime }]=[{𝐲}^{\prime },𝐱]$ für alle ${𝐲}^{\prime }\in V^{*}$ bestimmt ist, ein kanonischer Isomorphismus für jeden endlich erzeugten Vektorraum.
• Ist ein endlich erzeugter Vektorraum euklidisch, dann existiert ein basisunabhängiger Isomorphismus induziert durch das Skalarprodukt $V\cong V^{*}$ durch $𝐱\mapsto ⟨𝐱,-⟩$.
• Jeder linearen Abbildung $L:V\to W$ ist eine duale (oder auch adjungierte) lineare Abbildung $L^{*}:W^{*}\to V^{*}$ zugeordnet. Dabei wird $L^{*}$ definiert durch $[L^{*}({𝐰}^{*}),𝐯]=[{𝐰}^{*},L(𝐯)]$.

Beispiel für nützliche Aussagen in Termen dualer Räume:

• $ker(L^{*})=Ann(im(L))$,
• $(V/U{)}^{*}\cong Ann(U)$,
• $A𝐱=𝐛$ ist lösbar gdw. ${𝐛}^t\in Ann({\mathscr{H}}_0(A^t))$ oder anders geschrieben: $im(L_A)=Ann(ker(L_A^{*}))$.

Anwendungsbeispiel: Langrangesche Interpolationspolynome
Betrachte $V^{*}$ zu $V=K[X{]}_d$, den Polynomen von Grad $\le d$, dann bilden die Evaluierungsabbildungen ${\xi }_i:f(X)\mapsto f(t_i)$ in $(d+1)$ verschiedenen Werten $t_0,...,t_d\in K$ eine Basis $B_0$ von $V^{*}$. Wir suchen eine Basis $B$ von $V$, so dass die duale Basis $B^{*}$ mit $B_0$ übereinstimmt.
Lösung: Die Lagrange-Polynome $L_j(X)=\prod _{i\ne j}^d\frac{X-t_i}{t_j-t_i}$ bilden die gesuchte Basis $B$. Wir wollen ein Polynom $f\in V$ finden, dass an den Stellen $x_j$ vorgegebene Werte annehmen soll: $f(t_j)=a_j$. Dann gilt $f=\sum _j{a}_j{L}_j(X)$.