Kurs:Lineare Algebra I/Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum ${ℝ}^n$ sind genau die stetigen Abbildungen, die Geraden und Parallelität erhalten und den Ursprung fixieren, linear.

Definition 2.18

Eine Abbildung $f:V\to W$ zweier $K$-Vektorräume heißt linear oder genauer $K$-linear, wenn für alle $v,v^{\prime }\in V$ und $\lambda \in K$ gilt:

($l_1$) $f(v+v^{\prime })=f(v)+f(v^{\prime })$,

($l_2$) $f(\lambda v)=\lambda f(v)$.

Beispiele

– Nullabbildung: $v\mapsto 0$.

– Homothetien: $v\mapsto \lambda v$, ($\lambda$ = ein fixiertes Körperelement).

– Projektionen auf eine Komponente: $x\in K^n\mapsto x_i\in K$.

– Jede Matrix $A=(a_{ij})\in Mat(m,n)$ bestimmt eine lineare Abbildung (wichtig!)

$f_A:K^n\to K^m;(x_1,...,x_n)\mapsto (\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j,...,\sum _{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j)$

– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der reellen Polynome:

$\partial /\partial x:ℝ[X]\to ℝ[X],f(X)\mapsto f^{\prime }(X)$

Lemma 2.19

Für jede lineare Abbildung $f:V\to W$ gelten:

(1) $f(0)=0$,

(2) $U\subset V$ Unterraum $\Rightarrow f(U)\subset W$ Unterraum,

(3) $Z\subset W$ Unterraum $\Rightarrow f^{-1}(Z)\subset V$ Unterraum,

(4) $f$ bijektiv (eineindeutig) $\Rightarrow f^{-1}$ linear,

(5) $g:W\to Z$ linear $\Rightarrow g\circ f:V\to Z$ linear.

Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Definition 2.20

Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung $f:V\to W$ sind definiert durch $Ker(f):=\{v\in V|f(v)=0\}$ bzw. $Im(f):=\{f(v)\in W|v\in V\}$.

Bemerkungen:

• Nach Lemma 2.19 sind $Ker(f)$ und $Im(f)$ Unterräume.
• Eine lineare Abbildung $f$ ist injektiv gdw. $Ker(f)=\{0\}$.
• Die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ ist selbst ein Vektorraum und Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen:

$Hom(V,W):=\{f|f:V\to W,f\text{linear}\}\subset Abb(V,W)$.

Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch $(f+g)(v):=f(v)+g(v)$ und $(\lambda f)(v):=\lambda (f(v))$.

• Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung

$\circ :Hom(V,W)\times Hom(W,Z)\to Hom(V,Z)$ $(f,g)\mapsto g\circ f$.

• Fixiert man jetzt $f$ (bzw. $g$), so erhält man jeweils Abbildung

$\circ f:Hom(W,Z)\to Hom(V,Z)$ bzw. $g\circ :Hom(V,W)\to Hom(V,Z)$

Diese Abbildungen sind jeweils linear.

Satz 2.21 (2. Dimensionsformel)

$\dim (V)=\dim (Ker(f))+\dim (Im(f))$.

Satz 2.22 (Prinzip der linearen Fortsetzung)

Ist $\{v_1,...,v_n\}$ eine Basis von $V$, so existiert zu jeder Auswahl von $n$ Vektoren $w_1,...,w_n\in W$ genau eine lineare Abbildung $f:V\to W$, so dass $f(v_i)=w_i$ für $i=1,...,n$.

Korollar 2.23

Jeder $n$-dimensionale $K$-Vektorraum $V$ ist isomorph zu $K^n$.

Beweis

Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension) besitzt $V$ eine Basis aus $n$ Vektoren, sagen wir $v_1,\dots ,v_n$. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzbarkeit gibt es eine $K$-lineare Abbildung

$\phi :K^n\to V,e_i\mapsto v_i,i=1,\dots n$.

Diese Abbildung ist surjektiv, da $v_1,\dots ,v_n$ ein |Erzeugendensystem von $V$ ist, und injektiv, da $v_1,\dots ,v_n$ |linear unabhängig sind. Damit ist $\phi$ ein Isomorphismus.

Korollar 2.24

Die Zuordnung $A\mapsto f_A$ induziert einen Isomorphismus des Vektorraumes der Matrizen auf den Vektorraum der linearen Abbildungen: $Mat(m,n;K)\cong Hom(K^n,K^m)$.

Man überzeugt sich leicht: $f_A(e_i)=a_i$ ist die $i$-te Spalte von $A$. Daher ergibt sich die inverse Abbildung aus der Zuordnung:

$f\mapsto M(f):=(f(e_1),...,f(e_n))$,

$M(f)$ ist also die Matrix, deren Spalten den Bildern der Einheitsvektoren entsprechen.

Standardaufgaben

(1) Teste $M\subset K^n$ auf lineare Unabhängigkeit.

(2) Bestimme eine Basis von $Lin(M)\subset K^n$.

(3) Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus $M\subset K^n$.

(4) Ergänzung einer linear unabhängigen Teilmenge $M\subset K^n$ zu einer Basis.

(5) Teste die Zugehörigkeit eines Vektors v zu einem Unterraum $U\subset V$ .

(6) Stelle für einen Unterraum $U\subset K^n$ ein homogenes lineares Gleichungssystem auf, dessen Lösungsmenge $U$ ist (implizite Darstellung von $U$).

(7) Bestimme Basen des Durchschnitts, der Summe von Unterräumen, bzw. von komplementären Räumen.

(8) Bestimme Kern und Bild einer linearen Abbildung.